Resolva:
Encontre uma equação do plano pi que passa pelos pontos Q1=(-5,0,0), Q2=(0,5,6) e Q3=(-1,0,1).

Passo 1

Estamos em geometria analítica no espaço, e o objetivo é encontrar a equação de um plano que passa por três pontos. Para isso, vamos usar dois vetores diretores formados a partir desses pontos e calcular o vetor normal ao plano via produto vetorial. Em seguida, escrevemos a equação do plano na forma
ncdot(r-r0)=0
onde n é o vetor normal e r0 é um ponto conhecido do plano.

Passo 2

Escolhemos Q1=(-5,0,0) como ponto de referência e formamos dois vetores diretores:
Q1Q2 = (0 - (-5),;5 - 0,;6 - 0) = (5,,5,,6),
Q1Q3 = (-1 - (-5),;0 - 0,;1 - 0) = (4,,0,,1)

Passo 3

Calculamos o vetor normal n ao plano como o produto vetorial:
n = Q1Q2timesQ1Q3 = (5,5,6)times(4,0,1)
Em detalhe:
n = i & j & k 5 & 5 & 6 4 & 0 & 1 = l(5cdot1-6cdot0,;-(5cdot1-6cdot4),;5cdot0-5cdot4r) = (5,;19,;-20)

Passo 4

Usamos a forma vetorial do plano com ponto r0=Q1=(-5,0,0) e normal n=(5,19,-20):
5l(x+5r)+19l(y-0r)-20l(z-0r)=0
Expandindo, obtemos
5x + 19y -20z +25 = 0
Confira que Q2 e Q3 satisfazem esta equação:
5cdot0+19cdot5-20cdot6+25=0, 5(-1)+19cdot0-20cdot1+25=0
Ambos dão zero.

Resposta

A equação do plano pi é
5x + 19y -20z +25 = 0

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