Dadas as matrizes A=[cccc1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3] e B=[cccc-3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2], determine:
(A B)^-1 ;

Passo 1

O enunciado pede (AB)^-1 para
A= 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 , B= -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2
Como A e B são triangulares com diagonal não nula, ambas são invertíveis e vale
(AB)^-1=B^-1A^-1
Para achar A^-1 e B^-1 vamos resolver AX=I e BY=I por substituição.

Passo 2

Calcular A^-1. Como A é triangular superior, A^-1 também é triangular superior. Fazendo back-substitution, obtém-se
A^-1= 1 & tfrac52 & tfrac178 & -tfrac3112 0 & tfrac12 & tfrac38 & -tfrac512 0 & 0 & tfrac14 & tfrac16 0 & 0 & 0 & tfrac13

Passo 3

Calcular B^-1. Como B é triangular inferior, B^-1 também é triangular inferior. Fazendo forward-substitution, encontra-se
B^-1= -tfrac13 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & -tfrac14& 0 & 0 -tfrac76& -tfrac12& -1 & 0 -tfrac2524& -tfrac38& -tfrac12& -tfrac12

Passo 4

Multiplicar B^-1A^-1. Chamando C=B^-1A^-1, cada entrada cij é sumk=1^4 (B^-1)ik(A^-1)kj. O resultado é
C=(AB)^-1= -tfrac13 & -tfrac56 & -tfrac1724 & tfrac3136 -tfrac14 & -tfrac34 & -tfrac58 & tfrac34 -tfrac76 & -tfrac196& -tfrac3512 & tfrac5518 -tfrac2524& -tfrac6724& -tfrac11948& tfrac18772

Resposta

(AB)^-1= -tfrac13 & -tfrac56 & -tfrac1724 & tfrac3136 -tfrac14 & -tfrac34 & -tfrac58 & tfrac34 -tfrac76 & -tfrac196& -tfrac3512 & tfrac5518 -tfrac2524& -tfrac6724& -tfrac11948& tfrac18772

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