Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
Se A é uma matriz quadrada e A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dada uma matriz quadrada A, o fato de A^2 ter uma coluna inteira de zeros obriga A a ter também uma coluna inteira de zeros. O conteúdo principal envolve multiplicação de matrizes e o conceito de núcleo (ou null space) de uma transformação linear.

Passo 2

Note que a j-ésima coluna de A^2 é
(A^2)j ;=; A,(Aj),
onde Aj é a j-ésima coluna de A. Logo, se (A^2)j=0 então
A,(Aj)=0,
isto é, Aj pertence ao núcleo de A. Mas em geral o núcleo de A pode conter vetores não nulos, de modo que Aj pode ser não-zero mesmo satisfazendo A(Aj)=0.

Passo 3

Para dar um contraexemplo concreto, considere
A = 1 & -1 [6pt] 1 & -1
Calculando,
A^2 = A cdot A = 1 & -1 [3pt] 1 & -1 1 & -1 [3pt] 1 & -1 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0
Então A^2 tem ambas as colunas iguais a zero. Mas as colunas de A são
11 e -1-1,
nenhuma delas é o vetor zero.]

Resposta

A afirmação é às vezes falsa, conforme mostra o contraexemplo acima.

Exercícios relacionados