Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
Se
é uma matriz quadrada e
tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente
tem uma coluna constituída somente de zeros.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dada uma matriz quadrada
, o fato de
ter uma coluna inteira de zeros obriga
a ter também uma coluna inteira de zeros. O conteúdo principal envolve multiplicação de matrizes e o conceito de núcleo (ou null space) de uma transformação linear.
Passo 2
Note que a
-ésima coluna de
é
onde
é a
-ésima coluna de
. Logo, se
então
isto é,
pertence ao núcleo de
. Mas em geral o núcleo de
pode conter vetores não nulos, de modo que
pode ser não-zero mesmo satisfazendo
.
Passo 3
Para dar um contraexemplo concreto, considere
Calculando,
Então
tem ambas as colunas iguais a zero. Mas as colunas de
são
e
,
nenhuma delas é o vetor zero.]
nenhuma delas é o vetor zero.]
Resposta
A afirmação é às vezes falsa, conforme mostra o contraexemplo acima.