Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal.
A=[ll 0 & 1 1 & 0 ], B=[cc 1 & -2 2 & 1 ], C=[cc 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 ], D=[ccc raiz33 & raiz33 & raiz33 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & raiz22 ]

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes quadradas e pede para verificar quais são ortogonais. Uma matriz Q é ortogonal se e somente se
Q^T Q = I,
ou seja, suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal.

Passo 2

Verificando A:
A = 0&11&0, A^T = A,
logo
A^T A = A^2 = 0&11&0 0&11&0 = 1&00&1 = I
Portanto A é ortogonal.

Passo 3

Verificando B:
B = 1&-22&1, B^T = 1&2-2&1,
B^T B = 1&2-2&1 1&-22&1 = 5&00&5 neq I
Logo B não é ortogonal.

Passo 4

Verificando C:
C = 13 & 2raiz23[6pt] 2raiz23 & -13
Primeira coluna de C tem norma
l(tfrac13r)^2 + l(tfrac2raiz23r)^2 = tfrac19 + tfrac89 = 1
Segunda coluna tem norma
l(tfrac2raiz23r)^2 + l(-tfrac13r)^2 = tfrac89 + tfrac19 = 1,
e o produto interno das colunas é
tfrac13cdottfrac2raiz23 + tfrac2raiz23cdotl(-tfrac13r) = tfrac2raiz29 - tfrac2raiz29 = 0
Como as colunas são ortonormais, C^T C = I e C é ortogonal.]

Passo 5

Verificando D:
D = raiz33 & raiz33 & raiz33[4pt] -raiz63 & raiz66 & raiz66[4pt] 0 & -raiz22 & raiz22
Cada linha tem norma 1:
l(tfracraiz33r)^2!+l(tfracraiz33r)^2!+l(tfracraiz33r)^2=1, l(-tfracraiz63r)^2!+2l(tfracraiz66r)^2=1, l(-tfracraiz22r)^2!+l(tfracraiz22r)^2=1,
e produtos internos entre quaisquer duas linhas são zero (checa-se termo a termo). Logo as linhas são ortonormais e D^T D = I, de modo que D é ortogonal.]

Resposta

As matrizes ortogonais são A, C e D.

Exercícios relacionados