Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes quadradas e pede para verificar quais são ortogonais. Uma matriz
Q é ortogonal se e somente se
ou seja, suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal.
Passo 2
Verificando
A :
logo
Portanto
A é ortogonal.
Passo 3
Verificando
B :
Logo
B não é ortogonal.
Passo 4
Verificando
C :
Primeira coluna de
C tem norma
Segunda coluna tem norma
e o produto interno das colunas é
Como as colunas são ortonormais,
C^T C = I e
C é ortogonal.]
Passo 5
Verificando
D :
Cada linha tem norma
1 :
e produtos internos entre quaisquer duas linhas são zero (checa-se termo a termo). Logo as linhas são ortonormais e
D^T D = I , de modo que
D é ortogonal.]
Resposta
As matrizes ortogonais são
A ,
C e
D .