Seja A matriz em Mn(R). Mostre que:
As matrizes A cdot A^T e 12(A+A^T)^2 são simétricas,

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as matrizes A A^T e tfrac12l(A + A^Tr)^2 são simétricas. Vamos usar que uma matriz M é simétrica se, e somente se,
M^T = M,
e as propriedades do transposto:
(AB)^T = B^TA^T, (cM)^T = c,M^T,
para matriz A, produto, soma e escalar c.

Passo 2

Para A A^T, aplicamos o transposto ao produto:
l(A A^Tr)^T = l(A^Tr)^T,A^T = A,A^T
Como l(A A^Tr)^T = A A^T, concluímos que A A^T é simétrica.

Passo 3

Para tfrac12l(A + A^Tr)^2, note que o fator tfrac12 não afeta a simetria, pois
l(tfrac12 Mr)^T = tfrac12,M^T
Basta verificar que l(A + A^Tr)^2 é simétrica. Usando o transposto de um produto:
l((A + A^T)^2r)^T = l(A + A^Tr)^T,l(A + A^Tr)^T = (A^T + A)(A^T + A) = (A + A^T)^2
Logo l(A + A^Tr)^2 é simétrica, e portanto
l(tfrac12,(A + A^T)^2r)^T = tfrac12,(A + A^T)^2,
isto é, tfrac12,(A + A^T)^2 é simétrica.

Resposta

Ambas as matrizes A A^T e tfrac12l(A + A^Tr)^2 são simétricas, pois seus transpostos coincidem com elas.

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