Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
A forma escalonada de uma matriz é única.

Passo 1

O enunciado afirma que “a forma escalonada de uma matriz é única”. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais precisamente o processo de escalonamento (eliminação de Gauss). Para responder, vamos usar a definição de forma escalonada e depois apresentar um exemplo concreto que mostra duas formas escalonadas distintas obtidas a partir de uma mesma matriz.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz simultaneamente:
  1. Todas as linhas nulas (caso existam) aparecem abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) aparece estritamente à direita do pivô da linha imediatamente acima.
    Não há, porém, condição de normalização dos pivôs (por exemplo, torná-los iguais a 1) nem de escala particular das linhas. Isso significa que, mesmo respeitando esses dois requisitos, podemos obter múltiplas matrizes diferentes em forma escalonada a partir da mesma matriz original.

Passo 3

Considere a matriz
A = 1 & 2 2 & 4
– Método 1: aplicamos L2 L2 - 2L1, obtendo
A1 = 1 & 2 0 & 0 ,
que está em forma escalonada pois o pivô da primeira linha está à esquerda de onde estaria o pivô da segunda (que é nula).
– Método 2: primeiro trocamos L1 por L2, ficando
2 & 4 1 & 2 ,
depois fazemos L2 L2 - tfrac12L1, obtendo
A2 = 2 & 4 0 & 0
Tanto A1 quanto A2 satisfazem os requisitos de forma escalonada, mas são claramente diferentes (os pivôs valem 1 em A1 e 2 em A2). Isso mostra que a forma escalonada não é única.

Resposta

Falsa.

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