Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
A forma escalonada de uma matriz é única.
Passo 1
O enunciado afirma que “a forma escalonada de uma matriz é única”. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais precisamente o processo de escalonamento (eliminação de Gauss). Para responder, vamos usar a definição de forma escalonada e depois apresentar um exemplo concreto que mostra duas formas escalonadas distintas obtidas a partir de uma mesma matriz.
Passo 2
Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz simultaneamente:
Todas as linhas nulas (caso existam) aparecem abaixo das linhas não nulas.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) aparece estritamente à direita do pivô da linha imediatamente acima.
Não há, porém, condição de normalização dos pivôs (por exemplo, torná-los iguais a ) nem de escala particular das linhas. Isso significa que, mesmo respeitando esses dois requisitos, podemos obter múltiplas matrizes diferentes em forma escalonada a partir da mesma matriz original.
Passo 3
Considere a matriz
– Método 1: aplicamos L2 L2 - 2L1, obtendo
A1 = 1 & 2 0 & 0 ,
que está em forma escalonada pois o pivô da primeira linha está à esquerda de onde estaria o pivô da segunda (que é nula).
– Método 2: primeiro trocamos L1 por L2, ficando
2 & 4 1 & 2 ,
depois fazemos L2 L2 - tfrac12L1, obtendo
A2 = 2 & 4 0 & 0
Tanto A1 quanto A2 satisfazem os requisitos de forma escalonada, mas são claramente diferentes (os pivôs valem 1 em A1 e 2 em A2). Isso mostra que a forma escalonada não é única.