Dadas as matrizes
A=(cccc 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 ) e B=(cccc -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 )
determine:
(a) det(A B)
(b) A^-1
(c) B^-1
(d) (B A)^-1
(e) det(C), onde C A^T=3 B C^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes, A e B , e precisamos resolver várias questões envolvendo determinantes e inversas delas. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes triangulares e como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

(a) det(A B)
Primeiro, sabemos que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
det(A B) = det(A) times det(B)
Matriz A é triangular superior, então o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 times 2 times 4 times 3 = 24
Matriz B é triangular inferior, então o determinante também é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(B) = (-3) times (-4) times (-1) times (-2) = 24
Portanto:
det(A B) = 24 times 24 = 576

Passo 3

(b) A^-1
Para encontrar a inversa da matriz A , já que ela é triangular superior e todos os elementos da diagonal são diferentes de zero, A é invertível. A inversa de uma matriz triangular também é triangular (no caso superior).
Vamos calcular A^-1 passo a passo:
A = 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3
A inversa de uma matriz triangular pode ser encontrada invertendo os elementos da diagonal e ajustando os elementos acima da diagonal usando operações lineares. O cálculo completo é um pouco extenso, mas o resultado final é:
A^-1 = 1 & 52 & 198 & 74 0 & 12 & 34 & 12 0 & 0 & 14 & 12 0 & 0 & 0 & 13

Passo 4

(c) B^-1
A matriz B também é triangular, especificamente inferior, com todos os elementos da diagonal diferentes de zero, então B é invertível. A inversa de uma matriz triangular inferior também é triangular inferior.
Vamos calcular B^-1 :
B = -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2
Seguindo o mesmo processo de inverter a diagonal e ajustar os elementos abaixo dela, obtemos:
B^-1 = -13 & 0 & 0 & 0 14 & -14 & 0 & 0 14 & 12 & -1 & 0 16 & 16 & 12 & -12

Passo 5

(d) (B A)^-1
Para encontrar a inversa do produto B A , usamos a propriedade de que a inversa do produto é o produto das inversas na ordem inversa:
(B A)^-1 = A^-1 B^-1
Já calculamos A^-1 e B^-1 nos passos anteriores. Portanto, basta multiplicar A^-1 por B^-1 :
(B A)^-1 = A^-1 times B^-1
Multiplicando as matrizes A^-1 e B^-1 , obtemos:
(B A)^-1 = -13 & -512 & -1932 & -724 18 & -18 & 316 & 18 116 & 18 & -14 & 14 118 & 118 & 112 & -16

Passo 6

(e) det(C), onde C A^T = 3 B C^2
Temos a relação:
C A^T = 3 B C^2
Queremos encontrar o determinante de C . Vamos usar as propriedades de determinantes e inversas:
Primeiro, vamos reorganizar a equação:
C A^T C^-2 = 3 B
Multiplicando ambos os lados por C^2 :
C A^T = 3 B C^2
Agora, aplicando o determinante em ambos os lados:
det(C A^T) = det(3 B C^2)
Sabemos que:
det(C A^T) = det(C) times det(A^T) = det(C) times det(A)
E:
det(3 B C^2) = 3^4 times det(B) times (det(C))^2 = 81 times 24 times (det(C))^2
Então:
det(C) times 24 = 81 times 24 times (det(C))^2
Dividindo ambos os lados por 24 :
det(C) = 81 times (det(C))^2
Rearranjando:
81 (det(C))^2 - det(C) = 0
Fatorando:
det(C) (81 det(C) - 1) = 0
Portanto, det(C) = 0 ou det(C) = 181 . Como C está inversível (porque está envolvida em equações com inversas), descartamos det(C) = 0 .
Logo:
det(C) = 181

Resposta

(a) det(A B) = 576
(b) A inversa de A é:
A^-1 = 1 & 52 & 198 & 74 0 & 12 & 34 & 12 0 & 0 & 14 & 12 0 & 0 & 0 & 13
(c) A inversa de B é:
B^-1 = -13 & 0 & 0 & 0 14 & -14 & 0 & 0 14 & 12 & -1 & 0 16 & 16 & 12 & -12
(d) A inversa de B A é:
(B A)^-1 = -13 & -512 & -1932 & -724 18 & -18 & 316 & 18 116 & 18 & -14 & 14 118 & 118 & 112 & -16
(e) det(C) = 181

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