determine:
(a) det(A B)
(b) A^-1
(c) B^-1
(d) (B A)^-1
(e) det(C), onde C A^T=3 B C^2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas matrizes, A e B , e precisamos resolver várias questões envolvendo determinantes e inversas delas. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como propriedades de determinantes e matrizes inversas. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes triangulares e como encontrar a inversa de uma matriz.
Passo 2
(a) det(A B)
Primeiro, sabemos que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
det(A B) = det(A) times det(B)
Matriz A é triangular superior, então o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 times 2 times 4 times 3 = 24
Matriz B é triangular inferior, então o determinante também é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(B) = (-3) times (-4) times (-1) times (-2) = 24
Portanto:
det(A B) = 24 times 24 = 576
Passo 3
(b) A^-1
Para encontrar a inversa da matriz A , já que ela é triangular superior e todos os elementos da diagonal são diferentes de zero, A é invertível. A inversa de uma matriz triangular também é triangular (no caso superior).
A inversa de uma matriz triangular pode ser encontrada invertendo os elementos da diagonal e ajustando os elementos acima da diagonal usando operações lineares. O cálculo completo é um pouco extenso, mas o resultado final é:
A matriz B também é triangular, especificamente inferior, com todos os elementos da diagonal diferentes de zero, então B é invertível. A inversa de uma matriz triangular inferior também é triangular inferior.