Dê as equações paramétricos do plano paralelo aos vetores u=(-1,2,1), v=(1,0,3) e que passa pelo ponto P=(2,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano que é paralelo aos vetores u=(-1,2,1) e v=(1,0,3) e que passa pelo ponto P=(2,4,-1). O conteúdo aqui é a forma paramétrica de um plano, que se obtém a partir de um ponto conhecido e de dois vetores diretores que definem as direções do plano.

Passo 2

Escolhendo s e t como parâmetros, qualquer ponto r(s,t) desse plano pode ser escrito como combinação linear de u e v a partir de P:
r(s,t) = P + s,u + t,v = (2,4,-1) + s,(-1,2,1) + t,(1,0,3)

Passo 3

Agora vamos decompor r(s,t) em suas componentes (x,y,z). Somando coordenada a coordenada, temos
x = 2 + scdot(-1) + tcdot1, y = 4 + scdot2 + tcdot0, z = -1 + scdot1 + tcdot3

Passo 4

Simplificando cada uma,
x = 2 - s + t, y = 4 + 2s, z = -1 + s + 3t

Resposta

x = 2 - s + t, y = 4 + 2s, z = -1 + s + 3t,
onde s,tinR.

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