Dadas as matrizes A=[ccc1 & -2 & 0 -1 & 3 & 2] e B=[cc-1 & 0 4 & 5 3 & 2]. Determine a matriz adjunta de AB. Essa matriz possui inversa? Em caso afirmativo a encontre.

Passo 1

Temos
A = 1 & -2 & 0 -1 & 3 & 2 e B = -1 & 0 4 & 5 3 & 2 ,
e queremos a matriz adjunta de AB. O conteúdo envolve multiplicação de matrizes para obter uma 2times2, depois usar a fórmula da adjunta de matriz 2times2 e, por fim, verificar se o determinante é não nulo para encontrar a inversa.

Passo 2

Calculemos
AB = 1 & -2 & 0 -1 & 3 & 2 -1 & 0 4 & 5 3 & 2
Tomando produto linha– coluna, obtemos
AB = 1cdot(-1)+(-2)cdot4+0cdot3 & 1cdot0+(-2)cdot5+0cdot2[6pt] (-1)cdot(-1)+3cdot4+2cdot3 & (-1)cdot0+3cdot5+2cdot2 = -9 & -10 19 & 19 ]

Passo 3

Para uma matriz
,
a adjunta é
No nosso caso , , , , então

Passo 4

O determinante de AB é
det(AB) = (-9)cdot19 - (-10)cdot19 = -171 + 190 = 19 neq 0,
logo AB é invertível. A inversa de uma 2times2 é
(AB)^-1 = 1det(AB),adj(AB) = 119 19 & 10 -19 & -9 = 1 & tfrac1019 -1 & -tfrac919

Resposta

A matriz adjunta de AB é
adj(AB) = 19 & 10 -19 & -9
Como det(AB)=19neq0, AB tem inversa dada por
(AB)^-1 = 1 & tfrac1019 -1 & -tfrac919

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