Determine o conjunto de pontos que atendem aos seguintes sistemas de equações:
lX=(1,2,5)+t1(1,2,0)+t2(0,0,1) X=(5,2,1)+t3(0,2,1)+t4(1,0,0)

Passo 1

O enunciado dá duas representações paramétricas de um ponto X=(x,y,z) em R^3, cada uma gerando um plano afim:
X=(1,2,5)+t1(1,2,0)+t2(0,0,1),
X=(5,2,1)+t3(0,2,1)+t4(1,0,0)
Queremos a interseção desses dois planos, que em geral é uma reta. Para isso, vamos igualar componente a componente e resolver os parâmetros.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de cada forma paramétrica:
x=1+t1, y=2+2t1, z=5+t2, x=5+t4, y=2+2t3, z=1+t3
Como ambas descrevem o mesmo ponto X, igualamos cada coordenada.

Passo 3

Igualando x, y e z obtemos:
1+t1=5+t4Longrightarrow t4=t1-4,
2+2t1=2+2t3Longrightarrow t3=t1,
5+t2=1+t3Longrightarrow t2=t1-4

Passo 4

Substituindo t2=t1-4 em (x,y,z)=(1+t1,,2+2t1,,5+t2)
x=1+t1, y=2+2t1, z=5+(t1-4)=1+t1
Chamando s=t1, a interseção é a reta
X=(1+s,,2+2s,,1+s)
ou, em forma vetorial,
X=(1,2,1)+s,(1,2,1), sinR

Resposta

(1+s,,2+2s,,1+s)mid sinR.

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