Dadas as matrizes
A=(cccc 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 ) e B=(cccc -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 )
determine:
e) det(C), onde C A^T=3 B C^2.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A= 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 , B= -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2
e pede det(C) sujeito à equação matricial
C,A^T=3,B,C^2
O conteúdo principal aqui é usar propriedades de determinantes: produto, escala em matriz ntimes n, e o fato de det(A^T)=det(A).

Passo 2

Como A é triangular superior,
det(A)=1cdot2cdot4cdot3=24,
e como B é triangular inferior,
det(B)=(-3)cdot(-4)cdot(-1)cdot(-2)=24
Além disso, det(A^T)=det(A)=24.

Passo 3

Tomamos determinante em ambos os lados de
C,A^T=3,B,C^2
Usamos
det(C,A^T)=det(C),det(A^T)
e
det(3,B,C^2)=3^4,det(B),det(C^2)=3^4,det(B),l(det(C)r)^2,
porque a matriz é 4times4. Logo
det(C),det(A^T) =3^4,det(B),l(det(C)r)^2
Substituindo det(A^T)=24 e det(B)=24, vem
det(C)cdot24 =81cdot24;l(det(C)r)^2

Passo 4

Da equação escalar
24,det(C) =81cdot24,l(det(C)r)^2
podemos fatorar det(C):
24,det(C)l[1 -81,det(C)r]=0
As soluções são det(C)=0 ou
det(C)=181
Se assumirmos que C é invertível (a equação original envolveria então C^-1), ficamos com a solução não trivial
det(C)=tfrac181

Resposta

det(C)=181

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