Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss e, em seguida, classifique-os.
a)
Passo 1
O enunciado fornece o sistema homogêneo abaixo e pede para usar o método de Gauss e, em seguida, classificá-lo como determinado, indeterminado ou incompatível:
x + 2y + z = 0, 2x + y - z = 0, 3x - y - 2z = 0
Este é um sistema de três equações lineares com três incógnitas. Vamos aplicar eliminação de Gauss para encontrar as soluções e verificar sua classificação.
Passo 2
Usamos a primeira equação como pivô em x. Eliminamos x nas outras duas:
– Subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda, obtendo
(2x + y - z) - 2,(x + 2y + z) = -3y - 3z = 0
– Subtraímos 3 vezes a primeira equação da terceira, obtendo
(3x - y - 2z) - 3,(x + 2y + z) = -7y - 5z = 0
Passo 3
Simplificamos as equações resultantes:
-3y - 3z = 0 ;Longrightarrow; y + z = 0,
-7y - 5z = 0 ;Longrightarrow; 7y + 5z = 0
Passo 4
Da primeira delas temos y = -z. Substituindo em 7y + 5z = 0 dá
7(-z) + 5z = -2z = 0 ;Longrightarrow; z = 0,
logo y = 0. Finalmente, na primeira equação do sistema original,
x + 2cdot 0 + 0 = 0 ;Longrightarrow; x = 0
Passo 5
Obtivemos a única solução ,(x,y,z) = (0,0,0). Sendo um sistema homogêneo cuja única solução é a trivial, ele é um sistema possível e determinado (solução única).