Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss e, em seguida, classifique-os.
f) cx+y-3 z+t=1 3 x+3 y+z+2 t=0 2 x+y+z-2 t=4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e quatro incógnitas x,y,z,t:
x+y-3z+t=1, 3x+3y+z+2t=0, 2x+y+z-2t=4
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para triangularizar a matriz aumentada e, em seguida, identificar variáveis livres e escrever a solução geral. Ao fim, classificamos o sistema (única solução, infinitas soluções ou impossível).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos a incógnita x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
[cccc|c 1 & 1 & -3 & 1 & 1 3 & 3 & 1 & 2 & 0 2 & 1 & 1 & -2 & 4 ] ;xrightarrowL2-3L1,;L3-2L1; [cccc|c 1 & 1 & -3 & 1 & 1 0 & 0 & 10 & -1 & -3 0 & -1 & 7 & -4 & 2 ]

Passo 3

Para ter pivô na segunda coluna, permutamos as linhas 2 e 3:
[cccc|c 1 & 1 & -3 & 1 & 1 0 & -1 & 7 & -4 & 2 0 & 0 & 10 & -1 & -3 ]
Agora temos pivôs em ,(1,1),,(2,2),,(3,3) e a coluna da incógnita t fica sem pivô, logo t é variável livre.

Passo 4

Chamando o parâmetro livre de t, voltamos às equações escalonadas:
Linha 3: ;10z - t = -3implies z = t-310
Linha 2: -y + 7z -4t = 2implies y = 7z -4t -2
Linha 1: x + y -3z + t = 1implies x = 1 - y +3z - t
Substituindo z em y:
y = 7cdott-310 -4t -2 = 7t-2110 - 40t10 - 2010 = -33t+4110
Em seguida, em x:
x = 1 -l(-33t+4110r) +3cdott-310-t = 215 + 135,t
Logo a solução geral é
boxed x &= 21+13t5, y &= -33t+4110, z &= t-310, t &inR (livre)

Resposta

O sistema é indeterminado, pois há infinitas soluções, com t servindo de parâmetro livre. As soluções são
x=21+13t5, y=-33t+4110, z=t-310, tinR

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