Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial” é sempre verdadeira ou às vezes falsa. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente a teoria de sistemas lineares e suas soluções; vamos usar a definição de sistema homogêneo e verificar se x=0 resolve sempre esse tipo de sistema.

Passo 2

Um sistema linear homogêneo de m equações e n incógnitas é aquele em que todos os termos independentes são zero. Em notação matricial, escrevemos
A,x = 0,
onde A é a matriz mtimes n, x é o vetor coluna das incógnitas em R^n e 0 é o vetor coluna nulo em R^m.

Passo 3

Para verificar se x=0 (o vetor nulo em R^n) é solução, calculamos
A,0 = 0
Isso é imediato, pois multiplicar qualquer matriz pelo vetor nulo resulta no vetor nulo.

Passo 4

Como em qualquer sistema homogêneo x=0 satisfaz A,x=0, concluímos que sempre existe pelo menos a solução trivial.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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