Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (ás vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial” é sempre verdadeira ou às vezes falsa. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente a teoria de sistemas lineares e suas soluções; vamos usar a definição de sistema homogêneo e verificar se
resolve sempre esse tipo de sistema.
Passo 2
Um sistema linear homogêneo de
equações e
incógnitas é aquele em que todos os termos independentes são zero. Em notação matricial, escrevemos
onde
é a matriz
,
é o vetor coluna das incógnitas em
e
é o vetor coluna nulo em
.
Passo 3
Para verificar se
(o vetor nulo em
) é solução, calculamos
Isso é imediato, pois multiplicar qualquer matriz pelo vetor nulo resulta no vetor nulo.
Passo 4
Como em qualquer sistema homogêneo
satisfaz
, concluímos que sempre existe pelo menos a solução trivial.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.