Dadas as matrizes
A=(cccc 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 ) e B=(cccc -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 ),
determine:
det(C), onde C A^T=3 B C^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas matrizes, A e B , e uma equação envolvendo outra matriz C :
C A^T = 3 B C^2
O que a gente precisa encontrar é o determinante de C , ou seja, det(C) .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e operações com matrizes. Vamos precisar lembrar que o determinante de uma multiplicação de matrizes é o produto dos determinantes delas, e que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a função determinante em ambos os lados da equação C A^T = 3 B C^2 . Isso fica assim:
det(C A^T) = det(3 B C^2)

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade de que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Então, para o lado esquerdo:
det(C A^T) = det(C) cdot det(A^T)
E para o lado direito, lembrando que det(kM) = k^n det(M) para uma matriz n times n :
det(3 B C^2) = 3^4 cdot det(B) cdot det(C^2)
Aqui, consideramos que A e B são matrizes 4 times 4 , então n = 4 .

Passo 4

Sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, ou seja, det(A^T) = det(A) . Além disso, det(C^2) = (det(C))^2 . Substituindo isso na equação:
det(C) cdot det(A) = 81 cdot det(B) cdot (det(C))^2

Passo 5

Vamos isolar det(C) na equação. Dividindo os dois lados por det(C) (supondo que det(C) neq 0 ):
det(A) = 81 cdot det(B) cdot det(C)
Então,
det(C) = det(A)81 cdot det(B)

Passo 6

Agora, precisamos calcular det(A) e det(B) .
A matriz A é triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 times 2 times 4 times 3 = 24
A matriz B é triangular inferior, e da mesma forma:
det(B) = (-3) times (-4) times (-1) times (-2) = (-3) times (-4) = 12; 12 times (-1) = -12; -12 times (-2) = 24

Passo 7

Substituindo os valores de det(A) e det(B) na equação para det(C) :
det(C) = 2481 times 24 = 241944 = 181

Resposta

O determinante de C é det(C) = dfrac181 .

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