Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas matrizes, A e B , e uma equação envolvendo outra matriz C :
C A^T = 3 B C^2
O que a gente precisa encontrar é o determinante de C , ou seja, det(C) .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades de determinantes e operações com matrizes. Vamos precisar lembrar que o determinante de uma multiplicação de matrizes é o produto dos determinantes delas, e que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a função determinante em ambos os lados da equação C A^T = 3 B C^2 . Isso fica assim:
det(C A^T) = det(3 B C^2)
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade de que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Então, para o lado esquerdo:
det(C A^T) = det(C) cdot det(A^T)
E para o lado direito, lembrando que det(kM) = k^n det(M) para uma matriz n times n :
det(3 B C^2) = 3^4 cdot det(B) cdot det(C^2)
Aqui, consideramos que A e B são matrizes 4 times 4 , então n = 4 .
Passo 4
Sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, ou seja, det(A^T) = det(A) . Além disso, det(C^2) = (det(C))^2 . Substituindo isso na equação: