Determinar os elementos da cônica abaixo:
Da parábola dada pela equação
(vértice, diretriz e foco)
Da parábola dada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola definida pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar três coisas importantes dessa parábola: o vértice, a diretriz e o foco. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que nos ajuda a entender melhor as formas geométricas através das suas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da parábola numa forma que a gente conheça melhor. A equação dada é
. Vamos rearranjá-la para isolar o
:
Passo 3
Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão da parábola que abre para a direita ou para a esquerda, que é:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice até o foco (ou até a diretriz, dependendo da direção da abertura).
Passo 4
Comparando a nossa equação
com a forma padrão, podemos reescrever:
Isso mostra que
e
, então o vértice da parábola é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
. Na forma padrão,
, então:
Esse valor de
nos vai ajudar a encontrar o foco e a diretriz.
Passo 6
Como a parábola está na forma
, e
, isso significa que a parábola abre para a direita (porque
é positivo).
O foco fica a uma distância
à direita do vértice. Então, adicionamos
à coordenada
do vértice:
Passo 7
A diretriz é uma linha vertical que fica a uma distância
à esquerda do vértice. Então, subtraímos
da coordenada
do vértice:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz: