Determinar os elementos da cônica abaixo:
Da parábola dada pela equação
y^2-8 x+16=0
(vértice, diretriz e foco)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola definida pela equação y^2 - 8x + 16 = 0 . Nosso objetivo aqui é encontrar três coisas importantes dessa parábola: o vértice, a diretriz e o foco. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que nos ajuda a entender melhor as formas geométricas através das suas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da parábola numa forma que a gente conheça melhor. A equação dada é y^2 - 8x + 16 = 0 . Vamos rearranjá-la para isolar o y^2 :
y^2 = 8x - 16

Passo 3

Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão da parábola que abre para a direita ou para a esquerda, que é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice até o foco (ou até a diretriz, dependendo da direção da abertura).

Passo 4

Comparando a nossa equação y^2 = 8x - 16 com a forma padrão, podemos reescrever:
y^2 = 8(x - 2)
Isso mostra que h = 2 e k = 0 , então o vértice da parábola é (2, 0) .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de p . Na forma padrão, 4p = 8 , então:
p = 84 = 2
Esse valor de p nos vai ajudar a encontrar o foco e a diretriz.

Passo 6

Como a parábola está na forma (y - k)^2 = 4p(x - h) , e p = 2 , isso significa que a parábola abre para a direita (porque p é positivo).
O foco fica a uma distância p à direita do vértice. Então, adicionamos p à coordenada x do vértice:
Foco = (h + p, k) = (2 + 2, 0) = (4, 0)

Passo 7

A diretriz é uma linha vertical que fica a uma distância p à esquerda do vértice. Então, subtraímos p da coordenada x do vértice:
Diretriz: x = h - p = 2 - 2 = 0

Resposta

  • Vértice: (2, , 0)
  • Foco: (4, , 0)
  • Diretriz: x = 0

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