Verifique se os conjuntos a seguir são ortogonais para os espaços com produto interno conforme indicado.
(cc1 & 0 0 & -1),(cc-1 & 1 -1 & 0),(cc0 & -1 1 & 0) com o produto interno definido a seguir
lang<=(ll a & b c & d ),(ll e & f g & h )rang<==a cdot e+b cdot f+c cdot g+d cdot h

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se um conjunto de três matrizes 2x2 é ortogonal em relação a um produto interno específico que foi definido. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ortogonalidade no contexto de espaços com produto interno e como calcular esse produto interno para as matrizes dadas. Basicamente, a gente vai calcular o produto interno entre cada par de matrizes e ver se dá zero, o que confirma a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) seja ortogonal. Em um espaço com produto interno, dois elementos são ortogonais se o produto interno entre eles for igual a zero. Então, para nosso conjunto de matrizes ser ortogonal, o produto interno entre cada par de matrizes diferentes deve ser zero.

Passo 3

Vamos identificar as matrizes que temos:
A1 = 1 & 0 0 & -1 , A2 = -1 & 1 -1 & 0 , A3 = 0 & -1 1 & 0
E o produto interno está definido como:
lang<= A, B rang<= = a cdot e + b cdot f + c cdot g + d cdot h
Onde A = a & b c & d e B = e & f g & h .

Passo 4

Vamos calcular o produto interno entre A1 e A2 :
lang<= A1, A2 rang<= = (1) cdot (-1) + (0) cdot (1) + (0) cdot (-1) + (-1) cdot (0) = -1 + 0 + 0 + 0 = -1
Como o resultado não é zero, já podemos ver que A1 e A2 não são ortogonais.

Passo 5

Mesmo assim, para completar a análise, vamos calcular os outros produtos internos.
Primeiro, entre A1 e A3 :
lang<= A1, A3 rang<= = (1) cdot (0) + (0) cdot (-1) + (0) cdot (1) + (-1) cdot (0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
E depois, entre A2 e A3 :
lang<= A2, A3 rang<= = (-1) cdot (0) + (1) cdot (-1) + (-1) cdot (1) + (0) cdot (0) = 0 -1 -1 + 0 = -2

Passo 6

Então, resumindo:
  • lang<= A1, A2 rang<= = -1 (não é zero)
  • lang<= A1, A3 rang<= = 0 (é zero)
  • lang<= A2, A3 rang<= = -2 (não é zero)

Resposta

O conjunto de matrizes não é ortogonal, já que nem todos os produtos internos entre elas são iguais a zero.

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