Seja T: V V um operador linear e seja alpha uma base de V. Mostre que se T é invertível, então det[T]alpha^alpha neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear invertível
;T:Vto V; em um espaço vetorial de dimensão finita, e escolhemos uma base alpha de V.
Queremos mostrar que a matriz ,[T]alpha^alpha é invertível, o que implica
detl([T]alpha^alphar) neq 0.

Passo 2

Como T é invertível, existe um operador linear inverso
;T^-1:Vto V; tal que
T^-1 circ T = IdV e T circ T^-1 = IdV

Passo 3

Usamos a propriedade de compatibilidade da representação matricial com composição:
para quaisquer operadores lineares S,Tcolon Vto V vale
[Scirc T]alpha^alpha = [S]alpha^alpha,[T]alpha^alpha
Em particular,
[T^-1circ T]alpha^alpha = [T^-1]alpha^alpha,[T]alpha^alpha = [IdV]alpha^alpha = In

Passo 4

Agora, aplicando determinante em ambos os lados da igualdade matricial
;[T^-1]alpha^alpha [T]alpha^alpha = In;, temos
detl([T^-1]alpha^alphar) ; detl([T]alpha^alphar) = det(In) = 1
Como detl([T^-1]alpha^alphar) é um número real finito, segue que
detl([T]alpha^alphar) neq 0.

Resposta

detl([T]alpha^alphar)neq 0.

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