Seja
um operador linear e seja
uma base de
. Mostre que se
é invertível, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear invertível
; em um espaço vetorial de dimensão finita, e escolhemos uma base
de
.
Queremos mostrar que a matriz é invertível, o que implica
.
Queremos mostrar que a matriz
Passo 2
Como
é invertível, existe um operador linear inverso
; tal que
Passo 3
Usamos a propriedade de compatibilidade da representação matricial com composição:
para quaisquer operadores lineares vale
para quaisquer operadores lineares
Em particular,
Passo 4
Agora, aplicando determinante em ambos os lados da igualdade matricial
;, temos
Como
é um número real finito, segue que
.