Seja T a transformação linear associada a matriz (cc-1 & 2 3 & 0 2 & 1).
Determine a imagem de T e uma base para Im(T).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear TcolonR^2toR^3 cuja matriz em relação às bases canônicas é
A = -1 & 2 3 & 0 2 & 1
O objetivo é encontrar Im(T), que por definição é o espaço gerado pelas colunas de A, e então extrair uma base para esse espaço.

Passo 2

As colunas de A são os vetores
v1 = -132, v2 = 201
Logo
Im(T) = spanv1,v2 = ls,v1 + t,v2 mid s,tinRr

Passo 3

Para verificar se
Dessa igualdade obtemos o sistema
Da segunda equação , e daí da primeira ou da terceira segue . Logo é a única solução, mostrando independência.

Passo 4

Como v1 e v2 são independentes e geram Im(T), elas formam uma base desse espaço, e seu posto é 2.

Resposta

A imagem de T é o plano em R^3 dado por
Im(T) = ls-132 + t201m|s,tinRr,
e uma base para Im(T) é
l-132,;201r

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