Exercício 12 Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de \mathbb{R}^{2}.
  • \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x+y=0\}\}).\\ - \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x y=0\}\}).\\ - \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x=3 y+2\}\}).\\ - \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x=y\}\}).\\

Passo 1

O enunciado dá quatro subconjuntos de \mathbb{R}^2: \displaystyle S_1=\{(x,y)\mid x+y=0\}, \displaystyle S_2=\{(x,y)\mid x\,y=0\}, \displaystyle S_3=\{(x,y)\mid x=3y+2\} e \displaystyle S_4=\{(x,y)\mid x=y\}.
O conteúdo é teoria de subespaços de um espaço vetorial. Para decidir se um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço, usamos o critério:
  1. Vetor zero está em S.
  2. S é fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in S.

Passo 2

Analisamos S_1=\{(x,y)\mid x+y=0\}.
  1. O vetor zero (0,0) satisfaz 0+0=0, logo (0,0)\in S_1.
  2. Se (x_1,y_1) e (x_2,y_2) estão em S_1, então x_1+y_1=0 e x_2+y_2=0. Logo
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0,
então (x_1+x_2,y_1+y_2)\in S_1.
3. Para \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in S_1 temos x+y=0, então
\bigl(\lambda x+\lambda y\bigr)=\lambda(x+y)=\lambda\cdot0=0,
logo (\lambda x,\lambda y)\in S_1.
Portanto S_1 é subespaço.

Passo 3

Analisamos S_2=\{(x,y)\mid x\,y=0\}.
  1. O vetor zero (0,0) satisfaz 0\cdot0=0, logo (0,0)\in S_2.
  2. Tomemos u=(1,0) e v=(0,1); ambos satisfazem x\,y=0, mas
u+v=(1,1)\quad\text{e}\quad1\cdot1=1\neq0,
logo u+v\notin S_2.
Portanto S_2 não é fechado sob soma e não é subespaço.

Passo 4

Analisamos S_3=\{(x,y)\mid x=3y+2\}.
Verificamos o vetor zero: (0,0) exigiria 0=3\cdot0+2, ou seja 0=2, o que é falso.
Logo (0,0)\notin S_3 e S_3 não é subespaço.

Passo 5

Analisamos S_4=\{(x,y)\mid x=y\}.
  1. O vetor zero (0,0) satisfaz 0=0, logo (0,0)\in S_4.
  2. Se (x_1,y_1) e (x_2,y_2) estão em S_4, então x_1=y_1 e x_2=y_2. Assim
x_1+x_2=y_1+y_2
e (x_1+x_2,y_1+y_2)\in S_4.
3. Para \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in S_4 temos x=y, assim
\lambda x=\lambda y
e (\lambda x,\lambda y)\in S_4.
Portanto S_4 é subespaço.

Resposta

S_1 e S_4 são subespaços de \mathbb{R}^2. S_2 e S_3 não são subespaços de \mathbb{R}^2.

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