Exercício 12 Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de
.
-
Passo 1
O enunciado dá quatro subconjuntos de
:
,
,
e
.
O conteúdo é teoria de subespaços de um espaço vetorial. Para decidir se um subconjunto é subespaço, usamos o critério:
O conteúdo é teoria de subespaços de um espaço vetorial. Para decidir se um subconjunto
- Vetor zero está em
. -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
Passo 2
Analisamos
.
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e estão em , então e . Logo
então
.
3. Para e
temos
, então
3. Para
logo
.
Portanto é subespaço.
Portanto
Passo 3
Analisamos
.
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Tomemos
e ; ambos satisfazem , mas
logo
.
Portanto não é fechado sob soma e não é subespaço.
Portanto
Passo 4
Analisamos
.
Verificamos o vetor zero: exigiria
, ou seja
, o que é falso.
Logo e
não é subespaço.
Verificamos o vetor zero:
Logo
Passo 5
Analisamos
.
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e estão em , então e . Assim
e
.
3. Para e
temos
, assim
3. Para
e
.
Portanto é subespaço.
Portanto