Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M_{2 \times 2} ?
W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & c+1 \\\ c & d\end{array}\right) \right\rvert\, a, c, d \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}a & c+1\\\ c & d\end{pmatrix}\mid a,c,d\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de M_{2\times2}. Lembraremos da definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
  1. o vetor zero de V pertence a W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero \displaystyle O=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
está em W_{2}. Para isso precisamos de a,c,d tais que
\begin{pmatrix}a&c+1\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Isto exige a=0, d=0 e c+1=0, ou seja c=-1. Como -1\in\mathbb{R}, existe escolha válida e, portanto, O\in W_{2}.

Passo 3

Testamos a soma de duas matrizes genéricas em W_{2}. Se
A_1=\begin{pmatrix}a_1&c_1+1\c_1&d_1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}a_2&c_2+1\c_2&d_2\end{pmatrix},
então
A_1 + A_2 = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & (c_1+1)+(c_2+1)\\[6pt] c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & (c_1+c_2)+2\\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Para que A_1+A_2 estivesse em W_{2}, seu elemento (1,2) teria de ser \bigl(c_1+c_2\bigr)+1, mas aparece \bigl(c_1+c_2\bigr)+2. Logo, a soma de dois elementos de W_{2} nem sempre fica em W_{2}: falha a clausura sob adição.]

Resposta

W_{2} não é um subespaço vetorial de M_{2\times2}.

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