Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M_{2 \times 2} ? W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & c+1 \\\ c & d\end{array}\right) \right\rvert\, a, c, d \in \mathbb{R}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}a & c+1\\\ c & d\end{pmatrix}\mid a,c,d\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de M_{2\times2}. Lembraremos da definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
o vetor zero de V pertence a W,
W é fechado sob soma,
W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero \displaystyle O=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
está em W_{2}. Para isso precisamos de a,c,d tais que
Para que A_1+A_2 estivesse em W_{2}, seu elemento (1,2) teria de ser \bigl(c_1+c_2\bigr)+1, mas aparece \bigl(c_1+c_2\bigr)+2. Logo, a soma de dois elementos de W_{2} nem sempre fica em W_{2}: falha a clausura sob adição.]
Resposta
W_{2} não é um subespaço vetorial de M_{2\times2}.