Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 3\end{array}\right), calcule se existir:
A^{t}+B

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, A^{t}+B.
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 1 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes a listar (pegas diretamente do enunciado):
  • A matriz A tem dimensão \,2\times3 (2 linhas e 3 colunas).
  • A matriz B tem dimensão \,3\times2 (3 linhas e 2 colunas).
  • A operação pedida é A^{t}+B, isto é, somar a transposta de A com B.]

Passo 2

Entender e calcular a transposta de A.
Conceito: a transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Formalmente, se A=(A_{ij}), então
(A^{t})_{ij}=A_{ji},
ou seja, o elemento que estava na linha j e coluna i de A passa para a linha i e coluna j em A^{t}.
Aplicando isso em A. Vou identificar os elementos de A:
A_{11}=1,\; A_{12}=1,\; A_{13}=1,\qquad A_{21}=2,\; A_{22}=3,\; A_{23}=4.
Agora aplicando (A^{t})_{ij}=A_{ji} para construir A^{t}:
  • Primeira linha de A^{t} vem da primeira coluna de A: \big(A_{11},A_{21}\big)=(1,2).
  • Segunda linha de A^{t} vem da segunda coluna de A: \big(A_{12},A_{22}\big)=(1,3).
  • Terceira linha de A^{t} vem da terceira coluna de A: \big(A_{13},A_{23}\big)=(1,4).
Portanto
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificar compatibilidade de dimensões para a soma.
Regra: duas matrizes podem ser somadas somente se tiverem exatamente a mesma dimensão (mesmo número de linhas e colunas). A soma é feita elemento a elemento.
Aqui:
  • \dim(A^{t})=3\times2 (porque A era 2\times3).
  • \dim(B)=3\times2.
Como ambas têm dimensão \,3\times2, a soma A^{t}+B existe.

Passo 4

Entender e aplicar a regra da soma de matrizes elemento a elemento.
Conceito: se C=A^{t}+B e C=(C_{ij}), então
C_{ij}=(A^{t})_{ij}+B_{ij},
para cada i e j.
Vou calcular cada entrada da matriz soma usando os elementos já conhecidos de A^{t} e de B.
Listando A^{t} e B lado a lado:
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 1 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
Somando linha a linha e coluna a coluna:
  • Primeira linha: C_{11}=(A^{t})_{11}+B_{11}=1+1=2,\qquad C_{12}=(A^{t})_{12}+B_{12}=2+2=4.
  • Segunda linha: C_{21}=(A^{t})_{21}+B_{21}=1+2=3,\qquad C_{22}=(A^{t})_{22}+B_{22}=3+1=4.
  • Terceira linha: C_{31}=(A^{t})_{31}+B_{31}=1+3=4,\qquad C_{32}=(A^{t})_{32}+B_{32}=4+3=7.]

Passo 5

Montar a matriz resultado com os elementos calculados:
A^{t}+B=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 4 \\[4pt] 4 & 7\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 4 \\[4pt] 4 & 7\end{pmatrix}]

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