Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & 4\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 3\end{array}\right), calcule se existir:
A+B^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, a soma A+B^{t}.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são as matrizes:
A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 1 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Regra importante antes de somar matrizes: duas matrizes podem ser somadas somente se tiverem as mesmas dimensões (mesmo número de linhas e de colunas). Vou verificar as dimensões de A e de B:
  • A tem 2 linhas e 3 colunas, então \,A é uma matriz 2\times3.
  • B tem 3 linhas e 2 colunas, então \,B é uma matriz 3\times2.
Como queremos A+B^{t}, preciso da dimensão de B^{t}. A transposta troca linhas por colunas, então se B é 3\times2, então B^{t} será 2\times3. Assim:
B^{t}\\ \text{é }2\times3,é
portanto A e B^{t} têm ambas dimensão 2\times3 e a soma está bem definida.

Passo 3

Vou calcular explicitamente B^{t}. A transposição faz (B^{t})_{ij}=B_{ji}. Tomando B do enunciado:
B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 1 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad B^{t} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Definição de soma de matrizes (revisão didática rápida): se X e Y são matrizes m\times n, então (X+Y)_{ij}=X_{ij}+Y_{ij} para todo i=1,\dots,m e j=1,\dots,n. Aplicando isso a A+B^{t}, temos
(A+B^{t})_{ij}=A_{ij}+B^{t}_{ij}=A_{ij}+B_{ji}.

Passo 5

Agora soma elemento a elemento. Escrevo A e B^{t} lado a lado para somar as entradas correspondentes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad B^{t}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Somando cada posição:
  • Primeira linha: \;1+1=2,\;1+2=3,\;1+3=4.
  • Segunda linha: \;2+2=4,\;3+1=4,\;4+3=7.
Portanto a matriz soma é
A+B^{t}=\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 \\[4pt] 4 & 4 & 7\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 \\[4pt] 4 & 4 & 7\end{pmatrix}]

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