Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{array}\right), calcule, se existir:
A \cdot B

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (pego do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}.
A pergunta é: calcular, se existir, A\cdot B.]

Passo 2

Primeiro vamos verificar se o produto A\cdot B existe. Regra de compatibilidade de dimensões:
seja A de dimensão m\times n e B de dimensão n\times p. Então AB existe e tem dimensão m\times p.
A fórmula para cada elemento é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj},
onde i indica a linha do produto, j indica a coluna do produto e k percorre a soma sobre as colunas de A (ou linhas de B).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: A é 1\times 3 (logo m=1,n=3) e B é 3\times 2 (logo n=3,p=2). Como os n batem ( 3), o produto existe e terá dimensão 1\times 2.
Vamos calcular as duas entradas do resultado: (AB)_{11} (primeira linha, primeira coluna) e (AB)_{12} (primeira linha, segunda coluna).

Passo 4

Cálculo de (AB)_{11}. Pela fórmula,
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}.
Substituindo os valores (pegados da matriz A e da primeira coluna de B):
(AB)_{11}=2\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot 2.
Agora as contas, passo a passo:
2\cdot 1 = 2,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,\qquad 3\cdot 2=6.
Somando:
(AB)_{11}=2+1+6=9.

Passo 5

Cálculo de (AB)_{12}. Pela fórmula,
(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}+A_{13}B_{32}.
Substituindo os valores (pegados da matriz A e da segunda coluna de B):
(AB)_{12}=2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 0.
Agora as contas:
2\cdot 1 = 2,\qquad (-1)\cdot 1 = -1,\qquad 3\cdot 0 = 0.
Somando:
(AB)_{12}=2-1+0=1.

Passo 6

Interpretação rápida (dica para a prova): cada entrada de AB é o produto escalar (dot product) da linha correspondente de A com a coluna correspondente de B. Aqui fizemos isso para a única linha de A com as duas colunas de B, obtendo os dois componentes do vetor resultado.

Resposta

\begin{pmatrix}9 & 1\end{pmatrix}

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