Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{array}\right), calcule, se existir: A. C
Passo 1
O enunciado dá as matrizes abaixo e pede para calcular o produto A\cdot C.
A = \begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\qquad C = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A tem dimensão \,1\times 3\, (uma linha e três colunas).
B tem dimensão \,3\times 2\,.
C tem dimensão \,2\times 2\,.
O que é pedido: calcular A\cdot C (se existir).
Passo 2
Regra de existência do produto de matrizes (explicação didática).
Se X é uma matriz de dimensão \,m\times n\, e Y é uma matriz de dimensão \,p\times q\,, então o produto X\cdot Y existe se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y; ou seja, se n=p.
Quando n=p o resultado X\cdot Y é uma matriz de dimensão \,m\times q\,.
Por que isso? Cada elemento (X\cdot Y)_{ij} é dado pelo produto interno (ou soma de produtos) entre a linha i de X e a coluna j de Y:
(X\cdot Y)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Nesse somatório aparece o índice k que corre sobre o número de colunas de X (que é igual ao número de linhas de Y). Se esses números não coincidirem, não há como formar os termos X_{ik}Y_{kj} com os mesmos k.
Passo 3
Aplicando a regra aos dados:
Para A temos m=1 e n=3, ou seja \,A é 1\times 3.
Para C temos p=2 e q=2, ou seja \,C é 2\times 2.
Comparando os números que precisam coincidir: o número de colunas de A é n=3 e o número de linhas de C é p=2. Como 3 \neq 2, a condição n=p não é satisfeita.
Passo 4
Conclusão e exemplo didático extra (como fazer se fossem compatíveis).
Conclusão: o produto A\cdot C não existe porque o número de colunas de A (3) é diferente do número de linhas de C (2).
Para fixar a ideia: se em vez de C tivéssemos uma matriz D de dimensão 3\times q, então A\cdot D existiria e teria dimensão 1\times q, e cada entrada seria obtida como produto escalar entre a linha de A e a coluna correspondente de D. Por exemplo, com B (que é 3\times2) o produto A\cdot B existe e dá uma matriz 1\times2; para obter seus dois elementos faria-se: