Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{array}\right), calcule, se existir:
B.C

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto matricial B\cdot C.
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.
As informações relevantes para este cálculo são as matrizes B e C (as dimensões de A não são necessárias para este produto).

Passo 2

Regra e intuição por trás do produto matricial (explicação didática):
  • Para que o produto B\cdot C exista, o número de colunas de B deve ser igual ao número de linhas de C.
  • Se B tem dimensão \,p\times m e C tem dimensão \,m\times q, então o produto D=B\cdot C existe e tem dimensão \,p\times q.
  • O elemento genérico (i,j) de D é dado pelo produto escalar (dot product) da i-ésima linha de B com a j-ésima coluna de C:
d_{ij}=\sum_{k=1}^{m} b_{ik}\,c_{kj}.
Aqui b_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de B, c_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de C, e d_{ij} é o elemento resultante.

Passo 3

Verificação de compatibilidade das dimensões:
  • B é uma matriz 3\times2 (3 linhas, 2 colunas).
  • C é uma matriz 2\times2 (2 linhas, 2 colunas).
    Como o número de colunas de B (que é 2) é igual ao número de linhas de C (que é 2), o produto B\cdot C existe. O resultado terá dimensão 3\times2.

Passo 4

Escrever o produto e a fórmula dos elementos para este caso específico:
Defina D=B\cdot C. Então D é 3\times2 e seus elementos são
d_{11}=b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21},\qquad d_{12}=b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22},
d_{21}=b_{21}c_{11}+b_{22}c_{21},\qquad d_{22}=b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22},
d_{31}=b_{31}c_{11}+b_{32}c_{21},\qquad d_{32}=b_{31}c_{12}+b_{32}c_{22}.
Agora vamos substituir os valores de B e C.

Passo 5

Primeira linha de D (i=1):
Os elementos da primeira linha de B são b_{11}=1 e b_{12}=1.
As colunas de C são \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix} (coluna 1) e \begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} (coluna 2).
Cálculo de d_{11}:
d_{11}=b_{11}c_{11}+b_{12}c_{21}=1\cdot 3 + 1\cdot 1 = 3 + 1 = 4.
Cálculo de d_{12}:
d_{12}=b_{11}c_{12}+b_{12}c_{22}=1\cdot 2 + 1\cdot 5 = 2 + 5 = 7.

Passo 6

Segunda linha de D (i=2):
Os elementos da segunda linha de B são b_{21}=-1 e b_{22}=1.
Cálculo de d_{21}:
d_{21}=b_{21}c_{11}+b_{22}c_{21}=(-1)\cdot 3 + 1\cdot 1 = -3 + 1 = -2.
Cálculo de d_{22}:
d_{22}=b_{21}c_{12}+b_{22}c_{22}=(-1)\cdot 2 + 1\cdot 5 = -2 + 5 = 3.

Passo 7

Terceira linha de D (i=3):
Os elementos da terceira linha de B são b_{31}=2 e b_{32}=0.
Cálculo de d_{31}:
d_{31}=b_{31}c_{11}+b_{32}c_{21}=2\cdot 3 + 0\cdot 1 = 6 + 0 = 6.
Cálculo de d_{32}:
d_{32}=b_{31}c_{12}+b_{32}c_{22}=2\cdot 2 + 0\cdot 5 = 4 + 0 = 4.

Passo 8

Resumo dos elementos calculados (lista dos d_{ij}):
d_{11}=4,\quad d_{12}=7,\quad d_{21}=-2,\quad d_{22}=3,\quad d_{31}=6,\quad d_{32}=4.

Resposta

B\cdot C=\begin{pmatrix}4 & 7 \\\\ -2 & 3 \\\\ 6 & 4\end{pmatrix}

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