Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 5\end{array}\right), calcule, se existir:
C \cdot B^{t}

Passo 1

O enunciado dá três matrizes e pede para calcular, se existir, o produto C\cdot B^{t}.
Informações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] -1 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Calcular C\cdot B^{t}, isto é, multiplicar a matriz C pela transposta da matriz B.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever explicitamente a transposta de B. A transposição troca linhas por colunas, portanto
B^{t}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui peguei os elementos da matriz B dada e os reorganizei trocando linhas por colunas.

Passo 3

Verificar dimensões para saber se o produto existe. A matriz C tem dimensão 2\times2 e B^{t} tem dimensão 2\times3. A regra de multiplicação de matrizes diz que o produto C\cdot B^{t} existe porque o número de colunas de C ( 2) é igual ao número de linhas de B^{t} ( 2). O resultado terá dimensão 2\times3.
Lembrando a definição coordenada a coordenada: se D=C\cdot B^{t}, então cada elemento D_{ij} é
D_{ij}=\sum_{k=1}^{2} C_{ik}\,(B^{t})_{kj},
ou seja, multiplicar a i-ésima linha de C pela j-ésima coluna de B^{t} e somar os produtos.

Passo 4

Calcular os elementos da primeira linha de D (i=1). A primeira linha de C é \bigl(3,\,2\bigr).
Cálculo de D_{11} (coluna 1 de B^{t} é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}):
D_{11}=3\cdot 1 + 2\cdot 1 = 3 + 2 = 5.
Cálculo de D_{12} (coluna 2 de B^{t} é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}):
D_{12}=3\cdot(-1) + 2\cdot 1 = -3 + 2 = -1.
Cálculo de D_{13} (coluna 3 de B^{t} é \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}):
D_{13}=3\cdot 2 + 2\cdot 0 = 6 + 0 = 6.]

Passo 5

Calcular os elementos da segunda linha de D (i=2). A segunda linha de C é \bigl(1,\,5\bigr).
Cálculo de D_{21}:
D_{21}=1\cdot 1 + 5\cdot 1 = 1 + 5 = 6.
Cálculo de D_{22}:
D_{22}=1\cdot(-1) + 5\cdot 1 = -1 + 5 = 4.
Cálculo de D_{23}:
D_{23}=1\cdot 2 + 5\cdot 0 = 2 + 0 = 2.

Passo 6

Reunindo os elementos calculados nas duas linhas, obtemos a matriz produto C\cdot B^{t}. (Os elementos já foram todos computados passo a passo acima; a montagem final está na seção de resposta.)

Resposta

C\cdot B^{t}= \begin{pmatrix} 5 & -1 & 6 \\\\ 6 & 4 & 2 \end{pmatrix}

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