Dadas as matrizes: A=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\\\ 3 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\\\ -2 & 6\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], obtenha:
(A-C)^{t}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (peguei os coeficientes do próprio enunciado):
A=\left[\begin{array}{cc}5 & 0 \\[4pt] 3 & 2\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\[4pt] -2 & 6\end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right].
A pergunta é: obter (A-C)^{t}.
Ou seja, primeiro calcular a diferença matricial A-C e depois tomar a transposta desse resultado.]

Passo 2

Regra para subtrair matrizes 2×2: subtrai-se elemento a elemento. Formalmente,
(A-C)_{ij}=A_{ij}-C_{ij}.
Vou calcular cada entrada de A-C:
  • Elemento (1,1): (A-C)_{11}=A_{11}-C_{11}=5-(-1)=5+1=6.
  • Elemento (1,2): (A-C)_{12}=A_{12}-C_{12}=0-1=-1.
  • Elemento (2,1): (A-C)_{21}=A_{21}-C_{21}=3-0=3.
  • Elemento (2,2): (A-C)_{22}=A_{22}-C_{22}=2-2=0.
Portanto,
A-C=\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\[4pt] 3 & 0\end{array}\right].]

Passo 3

O que é a transposta de uma matriz? Para uma matriz M, a transposta M^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de entradas,
(M^{t})_{ij}=M_{ji}.
Ou seja, a primeira linha de M vira a primeira coluna de M^{t}, a segunda linha vira a segunda coluna, e assim por diante.
Também vale a propriedade linear útil (só para referência): (A-C)^{t}=A^{t}-C^{t}. Aqui usei o caminho direto (primeiro subtrair, depois transpor), que é o mais simples para este tamanho de matriz.

Passo 4

Aplicando a definição de transposta em A-C=\left[\begin{array}{cc}6 & -1 \\[4pt] 3 & 0\end{array}\right]:
  • A primeira linha (6,\,-1) vira a primeira coluna.
  • A segunda linha (3,\,0) vira a segunda coluna.
Logo,
(A-C)^{t}=\left[\begin{array}{cc}6 & 3 \\[4pt] -1 & 0\end{array}\right].]

Resposta

\displaystyle (A-C)^{t}=\left[\begin{array}{cc}6 & 3 \\[4pt] -1 & 0\end{array}\right]]

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