Questão 3. Obtenha x, y e z na igualdade entre as matrizes:
\left[\begin{array}{cc}x & z \\\ x+y & x-y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5 & 3 x \\\\ 8 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre duas matrizes 2×2 e pede os valores de x, y e z. As matrizes dadas são:
\begin{pmatrix}x & z \\\ x+y & x-y\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}5 & 3x \\\\ 8 & 2\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Encontrar x.
  • Encontrar y.
  • Encontrar z.
Informações relevantes fornecidas: os quatro elementos correspondentes das matrizes devem ser iguais dois a dois.

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar (explicação didática): quando duas matrizes têm a mesma dimensão e são iguais, cada elemento na posição (i,j) da primeira é igual ao elemento na mesma posição da segunda. Em outras palavras, igualar matrizes é igualar as entradas correspondentes.
Formalmente, se
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & q \\\ r & s\end{pmatrix},
então
a=p,\quad b=q,\quad c=r,\quad d=s.
Aplicamos essa ideia às matrizes do enunciado.

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} x = 5,\\[4pt] z = 3x,\\[4pt] x + y = 8,\\[4pt] x - y = 2. \end{cases}
Essas quatro equações vêm diretamente das posições (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2) respectivamente.]

Passo 4

Começamos pela equação mais simples: x = 5.
Isso já nos dá o valor de x. Explicação rápida: é uma igualdade direta, sem nenhuma incógnita adicional, então basta ler o valor.

Passo 5

Usando x=5 na equação que define z:
z = 3x = 3\cdot 5 = 15.
Aqui aplicamos a propriedade distributiva básica da multiplicação e fazemos a conta inteira 3\times5.

Passo 6

Agora determinamos y. Substituindo x=5 em x+y=8, temos:
5 + y = 8.
Isolando y:
y = 8 - 5 = 3.
Como verificação (boa prática): substituir x=5 e y=3 em x-y=2
5 - 3 = 2,
que é verdadeiro, portanto os valores são consistentes com ambas as equações.

Passo 7

Resumo dos valores encontrados e checagem final rápida substituindo em todas as equações originais:
  • x=5 — satisfaz (1,1).
  • z=15 — satisfaz (1,2) porque 3x=3\cdot5=15.
  • y=3 — satisfaz (2,1) e (2,2) junto com x.
Tudo confere, concluímos os valores.

Resposta

x=5
y=3
z=15

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