Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria.
Aplique o método de Gauss-Jordan para encontrar (se possível), os valores de boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e boldsymbol{c} de modo que o sistema \left\{\begin{array}{r}\mathbf{2} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{a} \\\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\mathbf{2} \boldsymbol{z}=\boldsymbol{b} \\\ \mathbf{3} \boldsymbol{y}+\mathbf{3} \boldsymbol{z}=\boldsymbol{c}\end{array}\right. tenha
(a) nenhuma solução, (b) exatamente uma solução e (c) infinitas soluções. Determine essas soluções se existirem.
Passo 1
O sistema dado é
\begin{cases} 2x - y + z = a,\\\ x + y + 2z = b,\\\\ 3y + 3z = c. \end{cases}
Queremos aplicar o método de Gauss–Jordan para descobrir, em função de a,b,c, quando o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e, em seguida, fazemos a primeira normalização no pivô da coluna de x:
Da forma escalonada reduzida observamos que o sistema é equivalente ao conjunto
\begin{cases} x + z = \dfrac{a + b}{3},\\\ y + z = \dfrac{2b - a}{3},\\\\ 0 = a + c - 2b. \end{cases}
A terceira equação impõe a condição de consistência
a + c - 2b = 0.
Se a + c - 2b\neq0, a última linha seria \,0 = número não-zero, impossível, logo o sistema não tem solução.
Se a + c - 2b=0, as duas primeiras equações determinam x,y em função do parâmetro livre z, gerando infinitas soluções. Não há forma de obter pivô na coluna de z, então nunca surgirá exatamente uma solução.
Passo 5
Quando a + c - 2b=0, escolhemos z = t\in\mathbb{R} e resolvemos
x = \frac{a + b}{3} - t,\quad y = \frac{2b - a}{3} - t,\quad z = t.
Resposta
(a) O sistema não tem solução sempre que
a + c - 2b \neq 0.
(b) Não existe escolha de a,b,c que produza exatamente uma solução.
(c) O sistema tem infinitas soluções se, e somente se,