Informações dadas que vamos usar: os coeficientes e termos independentes das quatro equações acima. O objetivo é encontrar o(s) valor(es) de k que tornam o sistema inconsistente (sem solução).
Passo 2
Estratégia (curtinha e sem mistério): usar eliminação por linhas (eliminação de Gauss) no sistema. Lembrete didático: uma sistema linear é inconsistente quando, ao fazer eliminação, aparece uma linha do tipo
0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}=c
com c\neq0 (ou seja, uma equação impossível 0=c). Isso é equivalente a dizer que a matriz de coeficientes e a matriz aumentada têm posto diferente. Vou fazer operações elementares de linha (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra etc.), que preservam o conjunto de soluções.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada inicial \left[A\mid b\right]:
Agora usei a nova linha 1 (com pivô em x_{2}) para zerar a entrada correspondente em L_{3} e em L_{2} (para simplificar). Primeiro, L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1}. Cálculo elemento a elemento:
Coluna x_{2}: 2-2\cdot1=0.
Coluna x_{3}: 2-2\cdot0=2.
Coluna x_{4}: 1-2\cdot2=1-4=-3.
Termo independente: 5-2\cdot15=5-30=-25.
Então L_{3} vira [0\;0\;2\;-3\mid -25].
Em seguida, L_{2}\leftarrow L_{2}-1\cdot L_{1} (para zerar o x_{2} em L_{2}):
Agora temos uma boa forma escalonada parcial. Use L_{3} (pivô em x_{3}, valor 2) para eliminar a entrada de x_{3} em L_{4} e em L_{2}.
Para eliminar em L_{4}: L_{4}\leftarrow L_{4}-1\cdot L_{3}. Cálculos:
Coluna x_{3}: 2-2=0.
Coluna x_{4}: k-(-3)=k+3.
Termo independente: 9-(-25)=34.
Então L_{4} fica [0\;0\;0\;k+3\mid 34].
Para eliminar em L_{2}: como L_{2} tem 4 em x_{3}, faça L_{2}\leftarrow L_{2}-2\cdot L_{3} (observe que L_{3} tem 2 em x_{3}, então multiplicamos por 2):
Análise da última equação: ela é (k+3)x_{4}=34. Agora o raciocínio chave (didático e simples):
Se k+3\neq0, então essa equação determina x_{4}=\dfrac{34}{k+3} e, substituindo para cima, obtém-se valores para x_{3},x_{1},x_{2}. O sistema tem solução única (porque todos os pivôs são não nulos no processo).
Se k+3=0, então a última linha vira 0\cdot x_{4}=34, isto é uma equação impossível 0=34. Isso significa que o sistema é incompatível (não tem solução) exatamente nesse caso.
Portanto a condição para o sistema não ter solução é k+3=0.
Passo 7
Como o enunciado pede o(s) valor(es) de k que fazem o sistema não ter solução, temos a condição acima que equivale a um único valor de k. Vou então apresentar a resposta final.