Nos itens abaixo, determine o valor de k de acordo ao que se pede:
Para que o sistema
\begin{aligned} & \left\{* 3 x_{1}+4 x_{2}+12 x_{3}-x_{4}=-3, x_{1}+x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=-6,2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5,2 x_{3}+k x_{4}=9\right. \text {, } & \text { não tenha solução. } \end{aligned}ãçã

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k para que o sistema linear abaixo não tenha solução.
As equações do sistema são:
\begin{aligned} & 3x_{1}+4x_{2}+12x_{3}-x_{4}=-3,\\\ & x_{1}+x_{2}+4x_{3}-x_{4}=-6,\\\ & 2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=5,\\\ & 2x_{3}+kx_{4}=9. \end{aligned}
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes e termos independentes das quatro equações acima. O objetivo é encontrar o(s) valor(es) de k que tornam o sistema inconsistente (sem solução).

Passo 2

Estratégia (curtinha e sem mistério): usar eliminação por linhas (eliminação de Gauss) no sistema. Lembrete didático: uma sistema linear é inconsistente quando, ao fazer eliminação, aparece uma linha do tipo
0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}=c
com c\neq0 (ou seja, uma equação impossível 0=c). Isso é equivalente a dizer que a matriz de coeficientes e a matriz aumentada têm posto diferente. Vou fazer operações elementares de linha (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra etc.), que preservam o conjunto de soluções.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada inicial \left[A\mid b\right]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 4 & 12 & -1 & -3\\[4pt] 1 & 1 & 4 & -1 & -6\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2 & k & 9 \end{array}\right]
Vou usar a segunda linha (que tem x_{1}=1) para eliminar x_{1} da primeira linha. Fazer L_{1}\leftarrow L_{1}-3L_{2}. Calculemos termo a termo:
  • Para a coluna x_{1}: 3-3\cdot1=0.
  • Para x_{2}: 4-3\cdot1=1.
  • Para x_{3}: 12-3\cdot4=0.
  • Para x_{4}: -1-3\cdot(-1)=-1+3=2.
  • Termo independente: -3-3\cdot(-6)=-3+18=15.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 2 & 15\\[4pt] 1 & 1 & 4 & -1 & -6\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2 & k & 9 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora usei a nova linha 1 (com pivô em x_{2}) para zerar a entrada correspondente em L_{3} e em L_{2} (para simplificar). Primeiro, L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1}. Cálculo elemento a elemento:
  • Coluna x_{2}: 2-2\cdot1=0.
  • Coluna x_{3}: 2-2\cdot0=2.
  • Coluna x_{4}: 1-2\cdot2=1-4=-3.
  • Termo independente: 5-2\cdot15=5-30=-25.
Então L_{3} vira [0\;0\;2\;-3\mid -25].
Em seguida, L_{2}\leftarrow L_{2}-1\cdot L_{1} (para zerar o x_{2} em L_{2}):
  • Coluna x_{1}: 1-0=1.
  • Coluna x_{2}: 1-1=0.
  • Coluna x_{3}: 4-0=4.
  • Coluna x_{4}: -1-2=-3.
  • Termo independente: -6-15=-21.
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 2 & 15\\[4pt] 1 & 0 & 4 & -3 & -21\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -3 & -25\\[4pt] 0 & 0 & 2 & k & 9 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora temos uma boa forma escalonada parcial. Use L_{3} (pivô em x_{3}, valor 2) para eliminar a entrada de x_{3} em L_{4} e em L_{2}.
Para eliminar em L_{4}: L_{4}\leftarrow L_{4}-1\cdot L_{3}. Cálculos:
  • Coluna x_{3}: 2-2=0.
  • Coluna x_{4}: k-(-3)=k+3.
  • Termo independente: 9-(-25)=34.
Então L_{4} fica [0\;0\;0\;k+3\mid 34].
Para eliminar em L_{2}: como L_{2} tem 4 em x_{3}, faça L_{2}\leftarrow L_{2}-2\cdot L_{3} (observe que L_{3} tem 2 em x_{3}, então multiplicamos por 2):
  • Coluna x_{1}: 1-2\cdot0=1.
  • Coluna x_{3}: 4-2\cdot2=0.
  • Coluna x_{4}: -3-2\cdot(-3)=-3+6=3.
  • Termo independente: -21-2\cdot(-25)=-21+50=29.
A matriz agora está bem escalonada:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 2 & 15\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 3 & 29\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -3 & -25\\[4pt] 0 & 0 & 0 & k+3 & 34 \end{array}\right]
Em forma de equações equivalentes, isso corresponde a:
\begin{aligned} & x_{2}+2x_{4}=15,\\\ & x_{1}+3x_{4}=29,\\\ & 2x_{3}-3x_{4}=-25,\\\ & (k+3)x_{4}=34. \end{aligned}]

Passo 6

Análise da última equação: ela é (k+3)x_{4}=34. Agora o raciocínio chave (didático e simples):
  • Se k+3\neq0, então essa equação determina x_{4}=\dfrac{34}{k+3} e, substituindo para cima, obtém-se valores para x_{3},x_{1},x_{2}. O sistema tem solução única (porque todos os pivôs são não nulos no processo).
  • Se k+3=0, então a última linha vira 0\cdot x_{4}=34, isto é uma equação impossível 0=34. Isso significa que o sistema é incompatível (não tem solução) exatamente nesse caso.
Portanto a condição para o sistema não ter solução é k+3=0.

Passo 7

Como o enunciado pede o(s) valor(es) de k que fazem o sistema não ter solução, temos a condição acima que equivale a um único valor de k. Vou então apresentar a resposta final.

Resposta

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