Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se uma matriz quadrada A for ortogonal então \operatorname{det} A= \pm 1.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte afirmação: "Se uma matriz quadrada A for ortogonal então \operatorname{det} A= \pm 1".
Informações dadas:
  • A é uma matriz quadrada (assumir reais) e é ortogonal.
    O que se pede:
  • Verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, dar um contra-exemplo.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas com calma).
  • Definição de matriz ortogonal: uma matriz quadrada A é ortogonal se
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A e I é a matriz identidade. Essa igualdade significa que as colunas de A formam um conjunto ortonormal (mas não precisamos entrar em detalhes geométricos agora).
  • Propriedades de determinantes que usaremos:
    1. Multiplicatividade: para duas matrizes quadradas X e Y de mesma dimensão vale
    \det(XY)=\det(X)\det(Y).
    1. Transposta: para qualquer matriz quadrada X vale
    \det(X^{T})=\det(X).(Intuição: transpor troca linhas por colunas e o determinante é uma medida de volume orientado que não muda ao trocar linhas por colunas; formalmente isso decorre da definição do determinante via permutações.)
    3. Determinante da identidade: \det(I)=1.

Passo 3

Aplicar determinante à igualdade que define a ortogonalidade.
Da definição de ortogonalidade temos A^{T}A=I. Tomando determinante em ambos os lados:
\det(A^{T}A)=\det(I).
Pela propriedade multiplicativa do determinante, o lado esquerdo é
\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A).
Pelo item 2 da lista de propriedades, \det(A^{T})=\det(A). Assim
\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
No lado direito, \det(I)=1. Portanto obtemos
\bigl(\det(A)\bigr)^{2}=1.

Passo 4

Resolver a equação obtida.
A igualdade \bigl(\det(A)\bigr)^{2}=1 implica que \det(A) é uma raiz quadrada de 1. Como estamos no campo dos números reais, as soluções são
\det(A)=1\quad\text{ou}\quad\det(A)=-1,
ou seja, \det(A)=\pm 1. Isso demonstra a afirmação.

Passo 5

Exemplos concretos para fixar a ideia (mostram que os dois sinais realmente ocorrem).
  • Exemplo com \det=1: rotação no plano
\displaystyle R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Tem-se R_{\theta}^{T}R_{\theta}=I, logo R_{\theta} é ortogonal, e
\det(R_{\theta})=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
  • Exemplo com \det=-1: reflexão no eixo x
\displaystyle Q=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Tem-se Q^{T}Q=I, logo Q é ortogonal, e
\det(Q)=1\cdot(-1)=-1.
Esses exemplos mostram que ambos os sinais \pm 1 realmente ocorrem entre matrizes ortogonais.]

Resposta

VERDADEIRA

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