Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se uma matriz quadrada
for ortogonal então
.
Se uma matriz quadrada
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação: "Se uma matriz quadrada
for ortogonal então
".
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é uma matriz quadrada (assumir reais) e é ortogonal.
O que se pede: - Verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, demonstrar; se for falsa, dar um contra-exemplo.
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas com calma).
- Definição de matriz ortogonal: uma matriz quadrada
é ortogonal se
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Essa igualdade significa que as colunas de
formam um conjunto ortonormal (mas não precisamos entrar em detalhes geométricos agora).
- Propriedades de determinantes que usaremos:
- Multiplicatividade: para duas matrizes quadradas
e de mesma dimensão vale
- Transposta: para qualquer matriz quadrada
vale
(Intuição: transpor troca linhas por colunas e o determinante é uma medida de volume orientado que não muda ao trocar linhas por colunas; formalmente isso decorre da definição do determinante via permutações.)
3. Determinante da identidade: - Multiplicatividade: para duas matrizes quadradas
Passo 3
Aplicar determinante à igualdade que define a ortogonalidade.
Da definição de ortogonalidade temos . Tomando determinante em ambos os lados:
Da definição de ortogonalidade temos
Pela propriedade multiplicativa do determinante, o lado esquerdo é
Pelo item 2 da lista de propriedades,
. Assim
No lado direito,
. Portanto obtemos
Passo 4
Resolver a equação obtida.
A igualdade implica que
é uma raiz quadrada de
. Como estamos no campo dos números reais, as soluções são
A igualdade
ou seja,
. Isso demonstra a afirmação.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar a ideia (mostram que os dois sinais realmente ocorrem).
- Exemplo com
: rotação no plano
Tem-se
, logo
é ortogonal, e
- Exemplo com
: reflexão no eixo
Tem-se
, logo
é ortogonal, e
Esses exemplos mostram que ambos os sinais
realmente ocorrem entre matrizes ortogonais.]
Resposta
VERDADEIRA