Para a matriz definida por:
M=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]
calcular f(t)=\operatorname{det}\left(M-t I_{2}\right) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]
e pede duas coisas: (i) calcular a função \,f(t)=\det\big(M-tI_{2}\big)\, (ou seja, o polinómio característico de ordem dois) e (ii) resolver a equação de segundo grau \,f(t)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os símbolos a,b,c,d representam números (podem ser reais ou complexos; não foi especificado).
  • I_{2} é a matriz identidade 2\times2, isto é \,I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\[4pt]0&1\end{array}\right].
  • A determinação de \det para matrizes 2\times2 será necessária.]

Passo 2

Escrever explicitamente a matriz \,M-tI_{2}\,. Substituindo \,I_{2}\, e multiplicando por t:
M-tI_{2}=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} t & 0\\[4pt] 0 & t \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} a-t & b\\[4pt] c & d-t \end{array}\right].
Aqui cada entrada foi obtida subtraindo t apenas na diagonal principal.]

Passo 3

Lembrar a fórmula do determinante para matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
\left[\begin{array}{cc} p & q\\[4pt] r & s \end{array}\right]
temos
\det\left[\begin{array}{cc} p & q\\[4pt] r & s \end{array}\right]=ps-qr.
Isto significa: multiplicar as entradas da diagonal principal e subtrair o produto das entradas da outra diagonal.]

Passo 4

Aplicar a fórmula do determinante ao caso \,M-tI_{2}\,. Usando p=a-t,\\ q=b,\\ r=c,\\ s=d-t,
\begin{aligned} f(t)&=\det\big(M-tI_{2}\big)=(a-t)(d-t)-bc. \end{aligned}
Agora expandir (a-t)(d-t): primeiro,
(a-t)(d-t)=ad - a t - d t + t^{2}=t^{2}-(a+d)t+ad.
Subtraindo bc obtemos o polinómio quadrático final:
\boxed{\,f(t)=t^{2}-(a+d)t+(ad-bc)\,}
(escrevo isso na forma expandida para ficar claro quais são os coeficientes).

Passo 5

Identificar os coeficientes do polinómio quadrático \,f(t)=t^{2}-(a+d)t+(ad-bc)\,. Em termos padrão \,At^{2}+Bt+C\, temos:
A=1,\qquad B=-(a+d),\qquad C=ad-bc.
É útil também definir duas quantidades clássicas:
\text{traço: }\tau=a+d,\qquad \text{determinante: }\delta=ad-bc,ç
para reescrever f(t) como
f(t)=t^{2}-\tau t+\delta.

Passo 6

Resolver a equação quadrática f(t)=0. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para qualquer equação \,At^{2}+Bt+C=0\, com A\neq0, as raízes são
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}.
No nosso caso A=1, B=-(a+d), C=ad-bc. Então o discriminante \Delta é
\Delta=B^{2}-4AC=(-(a+d))^{2}-4\cdot1\cdot(ad-bc)=(a+d)^{2}-4(ad-bc).

Passo 7

Simplificar o discriminante \Delta. Expandindo:
\begin{aligned} \Delta&=(a+d)^{2}-4ad+4bc\\[4pt] &=a^{2}+2ad+d^{2}-4ad+4bc\\[4pt] &=a^{2}-2ad+d^{2}+4bc\\[4pt] &=(a-d)^{2}+4bc. \end{aligned}
Essa forma \,(a-d)^{2}+4bc\, é frequentemente mais intuitiva porque mostra a contribuição da diferença das diagonais e dos termos fora da diagonal.]

Passo 8

Aplicar a fórmula das raízes com estes valores. Como A=1 e B=-(a+d),
\begin{aligned} t&=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}=\frac{a+d\pm\sqrt{(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}{2}\\[6pt] &=\frac{a+d\pm\sqrt{(a-d)^{2}+4bc}}{2}. \end{aligned}
Em termos de traço \tau e determinante \delta isso fica
t=\frac{\tau\pm\sqrt{\tau^{2}-4\delta}}{2}.]

Passo 9

Interpretação rápida dos casos (útil para a prova):
  • Se \Delta>0 as duas raízes são reais e distintas.
  • Se \Delta=0 há uma raiz dupla \,t=(a+d)/2\,.
  • Se \Delta<0 as raízes são complexas conjugadas e dadas pela mesma fórmula (com a raiz quadrada complexa).
    Não é necessário fazer mais aqui a menos que valores numéricos sejam fornecidos para a,b,c,d.

Resposta

f(t)=t^{2}-(a+d)t+(ad-bc)
t=\frac{a+d\pm\sqrt{(a-d)^{2}+4bc}}{2}

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