Para a matriz definida por:
calcular
e resolver a equação do segundo grau
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas: (i) calcular a função
(ou seja, o polinómio característico de ordem dois) e (ii) resolver a equação de segundo grau
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os símbolos
representam números (podem ser reais ou complexos; não foi especificado). -
é a matriz identidade , isto é . - A determinação de
para matrizes será necessária.]
Passo 2
Escrever explicitamente a matriz
. Substituindo
e multiplicando por
:
Aqui cada entrada foi obtida subtraindo
apenas na diagonal principal.]
Passo 3
Lembrar a fórmula do determinante para matriz
. Para uma matriz genérica
temos
Isto significa: multiplicar as entradas da diagonal principal e subtrair o produto das entradas da outra diagonal.]
Passo 4
Aplicar a fórmula do determinante ao caso
. Usando
,
Agora expandir
: primeiro,
Subtraindo
obtemos o polinómio quadrático final:
(escrevo isso na forma expandida para ficar claro quais são os coeficientes).
Passo 5
Identificar os coeficientes do polinómio quadrático
. Em termos padrão
temos:
É útil também definir duas quantidades clássicas:
para reescrever
como
Passo 6
Resolver a equação quadrática
. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para qualquer equação
com
, as raízes são
No nosso caso
,
,
. Então o discriminante
é
Passo 7
Simplificar o discriminante
. Expandindo:
Essa forma
é frequentemente mais intuitiva porque mostra a contribuição da diferença das diagonais e dos termos fora da diagonal.]
Passo 8
Aplicar a fórmula das raízes com estes valores. Como
e
,
Em termos de traço
e determinante
isso fica
Passo 9
Interpretação rápida dos casos (útil para a prova):
- Se
as duas raízes são reais e distintas. - Se
há uma raiz dupla . - Se
as raízes são complexas conjugadas e dadas pela mesma fórmula (com a raiz quadrada complexa).
Não é necessário fazer mais aqui a menos que valores numéricos sejam fornecidos para.