Dadas as matrizes
A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 5 & -1 \\\ -2 & 3 & 0\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll}0 & -1 \\\ 3 & -2\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{rr}3 & 1 \\\ -3 & 5 \\\ 1 & 0\end{array}\right], \quad \text { e } \quad D=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\ 0 & -1 & 5 \\\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]
Calcule, se possível:
c) (A \cdot D)^{T}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes A e D e pede (A\cdot D)^T. Para chegar lá, vamos primeiro multiplicar A por D (usando a regra de combinar linhas de A com colunas de D) e depois aplicar a transposição (trocar linhas por colunas).

Passo 2

Como A é 2\times3 e D é 3\times3, o produto A\cdot D será 2\times3. Cada entrada (i,j) é a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de D. Calculando:
A\cdot D = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 5\cdot0 + (-1)\cdot0 & 3\cdot1 + 5\cdot(-1) + (-1)\cdot0 & 3\cdot3 + 5\cdot5 + (-1)\cdot7 \\[6pt] -2\cdot2 + 3\cdot0 + 0\cdot0 & -2\cdot1 + 3\cdot(-1) + 0\cdot0 & -2\cdot3 + 3\cdot5 + 0\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 27 \\[3pt] -4 & -5 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora aplicamos a transposição em A\cdot D, trocando linhas por colunas. Como A\cdot D é 2\times3, sua transposta será 3\times2:
(A\cdot D)^T = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\\\ -2 & -5 \\\\ 27 & 9 \end{pmatrix}.

Resposta

(A\cdot D)^T = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\\\ -2 & -5 \\\\ 27 & 9 \end{pmatrix}.

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