Dadas as matrizes lla & c+2 a b & d+2 b, mostre que lla & c b & d.

Passo 1

Temos as matrizes A e B abaixo:
A = a & c+2a b & d+2b
B = a & c b & d
O objetivo é mostrar que det A = det B. O conteúdo da matéria é determinantes de matrizes 2times2 e a propriedade de operações elementares em colunas que não alteram o valor do determinante.

Passo 2

Em uma matriz 2times2, o determinante é definido por:
detx & y z & w = xw - yz
Além disso, uma propriedade fundamental de determinantes é que adicionar a uma coluna um múltiplo de outra coluna não altera o valor do determinante.

Passo 3

Note que a segunda coluna de A é a soma da segunda coluna de B com duas vezes a primeira coluna de B:
(c+2a,,d+2b)^T = (c,d)^T + 2,(a,b)^T
Pelo que vimos, isso implica
det A = det B
Calculando diretamente o determinante de B, temos:
det B = ad - bc
Portanto, concluímos que det A = det B = ad - bc.

Resposta

det A = det B = ad - bc

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