1. A energia cinética de uma partícula é dada por K=12 m v^2, onde v é o módulo de sua velocidade. Qual a expressão de K, também em função de módulos, quando a velocidade muda de v para v-u ?

Passo 1

Resumo do problema: a energia cinética de uma partícula é dada por K=tfrac12 m v^2, onde v=|vec v|. A questão pede a expressão de K quando a velocidade passa de vec v para vec v-vec u. Vamos usar propriedades de módulo e produto escalar.

Passo 2

Novo valor da velocidade e substituição na fórmula: a nova velocidade é vec v,'=vec v-vec u. Logo, a energia cinética fica K=tfrac12 m|vec v,'|^2=tfrac12 m|vec v-vec u|^2.

Passo 3

Propriedade de módulo ao quadrado: para qualquer vetor vec w vale |vec w|^2=vec wcdotvec w. Assim,
|vec v-vec u|^2=(vec v-vec u)cdot(vec v-vec u)=vec vcdotvec v-2,vec vcdotvec u+vec ucdotvec u.

Passo 4

Expressão em termos de módulos e ângulo: como vec vcdotvec v=v^2, vec ucdotvec u=u^2 e vec vcdotvec u=vucostheta, temos
|vec v-vec u|^2=v^2+u^2-2vucostheta,

Passo 5

Portanto substituindo em K=tfrac12 m|vec v-vec u|^2 obtemos a expressão desejada.

Resposta

K=tfrac12 ml(v^2+u^2-2vucosthetar)

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