Exercício 3 Encontre uma base e a dimensão do subespaço de F(R, R) gerado pelas funções f, g e h onde f(x)=1, g(x)=sen x e h(x)=cos x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço de todas as funções reais gerado por f(x)=1, g(x)=sen x e h(x)=cos x. O conteúdo aqui é espaço vetorial de funções, span, base e dimensão, e vamos precisar usar o conceito de independência linear.

Passo 2

Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores (aqui, funções) que gera o subespaço e é linearmente independente. A dimensão é o número de vetores nessa base.

Passo 3

Para testar independência linear, suponha que existam escalares a, b e c tais que a·f(x) + b·g(x) + c·h(x) seja a função zero para todo x. Isto é,
acdot1 + bcdotsin x + ccdotcos x = 0,forall x

Passo 4

Avalie essa igualdade em x=0, x=\pi/2 e x=\pi para obter um sistema em a, b e c:
a + bcdot0 + ccdot1 = 0 a + bcdot1 + ccdot0 = 0 a + bcdot0 + ccdot(-1) = 0

Passo 5

Esse sistema vira
a + c = 0 a + b = 0 a - c = 0

Passo 6

Somando a primeira e a terceira equações temos 2a = 0 ⇒ a=0. Daí c = 0 (pela primeira) e b = 0 (pela segunda). Só a solução trivial existe, logo as funções são linearmente independentes.

Passo 7

Como {1, sen x, cos x} é um conjunto de três funções linearmente independentes e elas geram o subespaço, elas formam uma base e a dimensão desse subespaço é 3.

Resposta

Uma base é {1, sen x, cos x} e a dimensão do subespaço gerado é 3.

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