Exercício 3 Encontre uma base e a dimensão do subespaço de
gerado pelas funções
, g e
onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço de todas as funções reais gerado por f(x)=1, g(x)=sen x e h(x)=cos x. O conteúdo aqui é espaço vetorial de funções, span, base e dimensão, e vamos precisar usar o conceito de independência linear.
Passo 2
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores (aqui, funções) que gera o subespaço e é linearmente independente. A dimensão é o número de vetores nessa base.
Passo 3
Para testar independência linear, suponha que existam escalares a, b e c tais que a·f(x) + b·g(x) + c·h(x) seja a função zero para todo x. Isto é,
Passo 4
Avalie essa igualdade em x=0, x=\pi/2 e x=\pi para obter um sistema em a, b e c:
Passo 5
Esse sistema vira
Passo 6
Somando a primeira e a terceira equações temos 2a = 0 ⇒ a=0. Daí c = 0 (pela primeira) e b = 0 (pela segunda). Só a solução trivial existe, logo as funções são linearmente independentes.
Passo 7
Como {1, sen x, cos x} é um conjunto de três funções linearmente independentes e elas geram o subespaço, elas formam uma base e a dimensão desse subespaço é 3.
Resposta
Uma base é {1, sen x, cos x} e a dimensão do subespaço gerado é 3.