Dadas as matrizes:
A=[ccc 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 ], B=[cccc 1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2 ], C=[cccc 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0 ]
Mostre que A B=A C.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes
AinR^3times3, BinR^3times4, CinR^3times4
e pede para mostrar que
A,B ;=; A,C
O conteúdo que usaremos envolve a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes e a ideia de núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz.

Passo 2

Usamos a distributividade para escrever
A,B - A,C = A,(B - C)
Portanto, basta provar que
A,(B - C)=0,
isto é, cada coluna de B - C pertence ao núcleo de A.

Passo 3

Calculamos D = B - C. Subtraindo termo a termo, obtemos
D = B - C = 1-2 & 4-1 & 1-(-1) & 0-(-2) 2-3 & 1-(-2)& 1-(-1) & 1-(-1) 1-2 & -2-(-5)& 1-(-1) & 2-0 = -1 & 3 & 2 & 2 -1 & 3 & 2 & 2 -1 & 3 & 2 & 2
Observação: cada coluna de D é um múltiplo escalar de 111.

Passo 4

Mostramos que 111 está no núcleo de A. De fato,
A111 = 1cdot1 + (-3)cdot1 + 2cdot1 2cdot1 + 1cdot1 + (-3)cdot1 4cdot1 + (-3)cdot1 + (-1)cdot1 =000
Logo, A,(B - C)=0.

Passo 5

Como A,(B - C)=0, segue que
A,B - A,C = 0 Longrightarrow A,B = A,C

Resposta

A,B = A,C

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