Julgue as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
(-A)^t=-(A^t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente julgar se a afirmação (-A)^t = -(A^t) é verdadeira ou falsa. Isso está relacionado ao estudo de matrizes e suas propriedades, especificamente a operação de transposição. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transposição de uma matriz funciona em relação à multiplicação por um escalar negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa transpor uma matriz. A transposição de uma matriz A, denotada por A^t, é uma nova matriz onde as linhas de A viram colunas e as colunas viram linhas. Por exemplo, se A é uma matriz 2 times 3, então A^t será uma matriz 3 times 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da afirmação: (-A)^t. Aqui, estamos primeiro multiplicando a matriz A por -1, o que inverte o sinal de todos os elementos de A. Em seguida, fazemos a transposição dessa matriz resultante.

Passo 4

No lado direito da afirmação, temos -(A^t). Isso significa que primeiro transponmos a matriz A e, depois, multiplicamos cada elemento da matriz transposta por -1.

Passo 5

A questão é: essas duas operações dão o mesmo resultado? Será que transpor primeiro e depois multiplicar por -1 é igual a multiplicar por -1 primeiro e depois transpor?

Passo 6

Vamos ver com um exemplo simples. Suponha que A seja:
A = 1 & 2 3 & 4
Então:
-A = -1 & -2 -3 & -4
E, transpondo -A:
(-A)^t = -1 & -3 -2 & -4
Agora, transpondo A primeiro:
A^t = 1 & 3 2 & 4
E multiplicando por -1:
-(A^t) = -1 & -3 -2 & -4

Passo 7

Observamos que (-A)^t e -(A^t) são iguais:
-1 & -3 -2 & -4

Resposta

Verdadeiro. A afirmação (-A)^t = -(A^t) é verdadeira.

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