Julgue as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente julgar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Isso está relacionado ao estudo de matrizes e suas propriedades, especificamente a operação de transposição. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transposição de uma matriz funciona em relação à multiplicação por um escalar negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa transpor uma matriz. A transposição de uma matriz , denotada por , é uma nova matriz onde as linhas de viram colunas e as colunas viram linhas. Por exemplo, se é uma matriz , então será uma matriz .
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da afirmação: . Aqui, estamos primeiro multiplicando a matriz por , o que inverte o sinal de todos os elementos de . Em seguida, fazemos a transposição dessa matriz resultante.
Passo 4
No lado direito da afirmação, temos . Isso significa que primeiro transponmos a matriz e, depois, multiplicamos cada elemento da matriz transposta por .
Passo 5
A questão é: essas duas operações dão o mesmo resultado? Será que transpor primeiro e depois multiplicar por é igual a multiplicar por primeiro e depois transpor?
Passo 6
Vamos ver com um exemplo simples. Suponha que seja:
Então:
-A = -1 & -2 -3 & -4
E, transpondo -A:
(-A)^t = -1 & -3 -2 & -4
Agora, transpondo A primeiro:
A^t = 1 & 3 2 & 4
E multiplicando por -1:
-(A^t) = -1 & -3 -2 & -4
Passo 7
Observamos que (-A)^t e -(A^t) são iguais:
-1 & -3 -2 & -4
Resposta
Verdadeiro. A afirmação (-A)^t = -(A^t) é verdadeira.