Sejam
e
matrizes do tipo
. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de tamanho
. A questão quer saber se o determinante do produto
é igual ao determinante do produto
, ou seja, se
. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta quando multiplicamos matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: para qualquer duas matrizes quadradas
e
de mesma dimensão, o determinante do produto delas é igual ao produto dos determinantes. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Isso quer dizer que, para multiplicar os determinantes, a ordem das matrizes não interfere nesse produto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa propriedade para calcular
. Usando a mesma regra, temos:
Perceba que aqui também a ordem das matrizes no produto determinante mudou, mas o resultado continua sendo o produto dos determinantes individuais.
Passo 4
Agora, olhe que:
Isso é possível porque a multiplicação de números é comutativa, ou seja, a ordem não altera o produto. Portanto, os dois produtos determinantes são iguais.
Resposta
Sim,
é verdadeiro.