Sejam A e B matrizes do tipo n times n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
det(A B)=det(B A)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas A e B de tamanho n times n . A questão quer saber se o determinante do produto A B é igual ao determinante do produto B A , ou seja, se det(A B) = det(B A). Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta quando multiplicamos matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: para qualquer duas matrizes quadradas A e B de mesma dimensão, o determinante do produto delas é igual ao produto dos determinantes. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
det(A B) = det(A) cdot det(B)
Isso quer dizer que, para multiplicar os determinantes, a ordem das matrizes não interfere nesse produto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade para calcular det(B A). Usando a mesma regra, temos:
det(B A) = det(B) cdot det(A)
Perceba que aqui também a ordem das matrizes no produto determinante mudou, mas o resultado continua sendo o produto dos determinantes individuais.

Passo 4

Agora, olhe que:
det(A) cdot det(B) = det(B) cdot det(A)
Isso é possível porque a multiplicação de números é comutativa, ou seja, a ordem não altera o produto. Portanto, os dois produtos determinantes são iguais.

Resposta

Sim, det(A B) = det(B A) é verdadeiro.

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