Determine os vértices BeC de um triàngulo equilátero A B C, sabendo que o ponto médio do lado A B é M(raiz3, 1) e A é a origem do sistema.

Passo 1

O enunciado pede encontrar os vértices B e C de um triângulo equilátero ABC em que A=(0,0) e o ponto médio de AB é M=(raiz3,1). O conteúdo envolve usar a fórmula do ponto médio para achar B e depois aplicar rotações de 60^circ em torno de A para obter as possíveis posições de C.

Passo 2

Como M é ponto médio de AB, vale
M = A + B2
e, portanto,
B = 2M - A = 2(raiz3,1) - (0,0) = (2raiz3,2)

Passo 3

O vetor
AB = B - A = (2raiz3,2)
Para achar C, rotacionamos AB em pm60^circ em torno de A usando as matrizes de rotação
R60^circ = 12 & -raiz32 raiz32 & 12 , R-60^circ = 12 & raiz32 -raiz32 & 12

Passo 4

Aplicando R60^circ ao vetor AB:
R60^circ2raiz32 = 12 & -raiz32 raiz32 & 12 2raiz32 = 04,
logo
C1 = A + 04 = (0,4)

Passo 5

Aplicando R-60^circ ao vetor AB:
R-60^circ2raiz32 = 12 & raiz32 -raiz32 & 12 2raiz32 = 2raiz3-2,
logo
C2 = A + 2raiz3-2 = (2raiz3,-2)

Resposta

B=(2raiz3,2)
C=(0,4) ou C=(2raiz3,-2)

Exercícios relacionados