( 2,0 pts ) Determine a equação geral e as equações das assíntotas da hipérbole de focos F1(0,-4) e F2(0,4) e eixo real de medida 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! Basicamente, a gente precisa encontrar a equação geral da hipérbole e também as equações das suas assíntotas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a hipérboles, como focos, eixo real e a relação entre os parâmetros a, b e c.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Os focos da hipérbole são F1(0,-4) e F2(0,4).
  • O comprimento do eixo real é 2.
O eixo real é a distância entre os vértices da hipérbole. Como o eixo real tem medida 2, o valor de 2a = 2, então a = 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de c, que é a distância do centro aos focos. Observando os focos F1(0,-4) e F2(0,4), vemos que o centro da hipérbole está na metade da distância entre os focos. Portanto, o centro é (0,0).
A distância c é 4, já que cada foco está a 4 unidades do centro.

Passo 4

Sabemos que para hipérboles, a relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores que temos:
4^2 = 1^2 + b^2 16 = 1 + b^2 b^2 = 15 b = raiz15

Passo 5

Como a hipérbole tem os focos ao longo do eixo y e o eixo real também é vertical, a equação padrão da hipérbole é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Substituindo os valores de a e b:
y^21 - x^215 = 1
Ou simplificando:
y^2 - x^215 = 1

Passo 6

Agora, vamos achar as equações das assíntotas. Para hipérboles verticais, as assíntotas são dadas por:
y = pm abx
Substituindo a = 1 e b = raiz15:
y = pm 1raiz15x
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz15:
y = pm raiz1515x

Resposta

A equação geral da hipérbole é y^2 - dfracx^215 = 1 e as equações das suas assíntotas são y = dfracraiz1515x e y = -dfracraiz1515x.

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