(
) Determine a equação geral e as equações das assíntotas da hipérbole de focos
e
e eixo real de medida 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! Basicamente, a gente precisa encontrar a equação geral da hipérbole e também as equações das suas assíntotas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a hipérboles, como focos, eixo real e a relação entre os parâmetros
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Os focos da hipérbole são
e . - O comprimento do eixo real é 2.
O eixo real é a distância entre os vértices da hipérbole. Como o eixo real tem medida 2, o valor de
, então
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
, que é a distância do centro aos focos. Observando os focos
e
, vemos que o centro da hipérbole está na metade da distância entre os focos. Portanto, o centro é
.
A distância
é 4, já que cada foco está a 4 unidades do centro.
Passo 4
Sabemos que para hipérboles, a relação entre
,
e
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Como a hipérbole tem os focos ao longo do eixo y e o eixo real também é vertical, a equação padrão da hipérbole é:
Substituindo os valores de
e
:
Ou simplificando:
Passo 6
Agora, vamos achar as equações das assíntotas. Para hipérboles verticais, as assíntotas são dadas por:
Substituindo
e
:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A equação geral da hipérbole é
e as equações das suas assíntotas são
e
.