Dadas as matrizes e B=(ccc2 & -1 & 0 1 & 3 & 4), pede-se:
a. Calcular A B e B A;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de multiplicação de matrizes. A gente tem duas matrizes, A e B , e precisa calcular os produtos A times B e B times A . Para isso, vamos usar a regra da multiplicação de matrizes, que envolve multiplicar as linhas de uma matriz pelas colunas da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular A times B . Mas antes de mais nada, é importante verificar se a multiplicação é possível. A regra diz que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.
Aqui, A é uma matriz 3 times 2 (3 linhas e 2 colunas) e B é uma matriz 2 times 3 (2 linhas e 3 colunas). Como o número de colunas de A (2) é igual ao número de linhas de B (2), a multiplicação A times B é possível, e o resultado será uma matriz 3 times 3 .
Passo 3
Vamos fazer o cálculo de A times B passo a passo. A fórmula para o elemento ci,j da matriz resultante C = A times B é:
ci,j = sumk=1^2 ai,k times bk,j
Ou seja, cada elemento de C é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A e da coluna j de B .
Vamos calcular cada elemento de C :
Elemento c1,1 :
c1,1 = a1,1 times b1,1 + a1,2 times b2,1 = 1 times 2 + 0 times 1 = 2 + 0 = 2
Elemento c1,2 :
c1,2 = a1,1 times b1,2 + a1,2 times b2,2 = 1 times (-1) + 0 times 3 = -1 + 0 = -1
Elemento c1,3 :
c1,3 = a1,1 times b1,3 + a1,2 times b2,3 = 1 times 0 + 0 times 4 = 0 + 0 = 0
Elemento c2,1 :
c2,1 = a2,1 times b1,1 + a2,2 times b2,1 = 3 times 2 + 2 times 1 = 6 + 2 = 8
Elemento c2,2 :
c2,2 = a2,1 times b1,2 + a2,2 times b2,2 = 3 times (-1) + 2 times 3 = -3 + 6 = 3
Elemento c2,3 :
c2,3 = a2,1 times b1,3 + a2,2 times b2,3 = 3 times 0 + 2 times 4 = 0 + 8 = 8
Elemento c3,1 :
c3,1 = a3,1 times b1,1 + a3,2 times b2,1 = 5 times 2 + 4 times 1 = 10 + 4 = 14
Elemento c3,2 :
c3,2 = a3,1 times b1,2 + a3,2 times b2,2 = 5 times (-1) + 4 times 3 = -5 + 12 = 7
Elemento c3,3 :
c3,3 = a3,1 times b1,3 + a3,2 times b2,3 = 5 times 0 + 4 times 4 = 0 + 16 = 16
Passo 4
Agora, juntando todos os elementos que calculamos, a matriz C = A times B fica assim:
C = 2 & -1 & 0 8 & 3 & 8 14 & 7 & 16
Passo 5
Agora vamos calcular B times A . Primeiro, verificamos as dimensões. B é uma matriz 2 times 3 e A é uma matriz 3 times 2 . Como o número de colunas de B (3) é igual ao número de linhas de A (3), a multiplicação B times A é possível, e o resultado será uma matriz 2 times 2 .
Passo 6
Vamos calcular cada elemento da matriz D = B times A usando a mesma fórmula:
di,j = sumk=1^3 bi,k times ak,j
Vamos calcular cada elemento de D :
Elemento d1,1 :
d1,1 = b1,1 times a1,1 + b1,2 times a2,1 + b1,3 times a3,1 = 2 times 1 + (-1) times 3 + 0 times 5 = 2 - 3 + 0 = -1
Elemento d1,2 :
d1,2 = b1,1 times a1,2 + b1,2 times a2,2 + b1,3 times a3,2 = 2 times 0 + (-1) times 2 + 0 times 4 = 0 - 2 + 0 = -2
Elemento d2,1 :
d2,1 = b2,1 times a1,1 + b2,2 times a2,1 + b2,3 times a3,1 = 1 times 1 + 3 times 3 + 4 times 5 = 1 + 9 + 20 = 30
Elemento d2,2 :
d2,2 = b2,1 times a1,2 + b2,2 times a2,2 + b2,3 times a3,2 = 1 times 0 + 3 times 2 + 4 times 4 = 0 + 6 + 16 = 22
Passo 7
Juntando os elementos calculados, a matriz D = B times A fica assim: