Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e S um conjunto finito de elementos de V, isto é, S= v1, cdots, vn. O subconjunto U construído a partir dos elementos de S da seguinte forma:
U=u in V tal que u=sumi=1^n alphai vi ; alphai in K
é um subespaço vetorial de V, que vamos denotar por U=lang<= Srang<=. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto finito S subset V de maneira que V=lang<= Srang<=.
Seja V=R^3, determine o subespaço gerado por S=v1, v2, onde v1=(1,-2,-1) e v2=(2,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o subespaço lang<= Srang<=subsetR^3 gerado pelos vetores v1=(1,-2,-1) e v2=(2,0,1). Vamos primeiro verificar se eles são linearmente independentes e depois obter uma forma paramétrica e, opcionalmente, a equação implícita do plano que definem.

Passo 2

Para ver se
isto é,
Dessa igualdade vem o sistema
Da segunda equação , e então das outras . Logo só há solução trivial, e são independentes.

Passo 3

Como são dois vetores independentes em R^3, seu span é um plano passando pela origem. Em forma paramétrica, qualquer vetor uinlang<= Srang<= é
u = alpha,v1 + beta,v2 = (alpha + 2beta,;-2alpha,;-alpha + beta), alpha,betainR

Passo 4

Para obter a equação implícita desse plano, calculamos um vetor normal n=v1times v2. Fazendo o produto vetorial,
n = i & j & k 1 & -2 & -1 2 & 0 & 1 = (-2),i - 3,j + 4,k =(-2,-3,4)
Assim a equação do plano é
-2x -3y +4z = 0,
ou equivalentemente
2x + 3y - 4z = 0

Resposta

O subespaço lang<= Srang<= é o plano de R^3 dado por
lang<= Srang<= = ,(alpha+2beta,,-2alpha,,-alpha+beta)mid alpha,betainR
ou, em forma implícita,
2x + 3y - 4z = 0

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