Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e S um conjunto finito de elementos de V, isto é, S= v1, cdots, vn. O subconjunto U construído a partir dos elementos de S da seguinte forma:
U=u in V tal que u=sumi=1^n alphai vi ; alphai in K
é um subespaço vetorial de V, que vamos denotar por U=lang<= Srang<=. Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um subconjunto finito S subset V de maneira que V=lang<= Srang<=.
Seja V=P2(R), determine o subespaço gerado por S=p1(x), p2(x), p3(x), onde p1(x)=2 x+2, p2(x)=-x^2+x+3 e p3(x)=x^2+2 x.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
U=lang<= Srang<=subset P2(R)
onde
S=p1(x),p2(x),p3(x), p1(x)=2x+2,;p2(x)=-x^2+x+3,;p3(x)=x^2+2x
O conteúdo usado é: definição de combinação linear, verificar independência e escolher uma base de U.

Passo 2

Considere a combinação linear genérica
u(x)=a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x),
com a,b,cinR. Calculando coeficientes de u(x)=A,x^2+B,x+C:
coeficiente de x^2:
A=-b+c,
coeficiente de x:
B=2a+b+2c,
termo constante:
C=2a+3b

Passo 3

Para ver dependência linear, buscamos alpha,beta,gamma não todos nulos com
alpha,p1+beta,p2+gamma,p3=0
Pelos coeficientes chega-se a -3p1+2p2+2p3=0, logo há uma relação não trivial e dim U=2.

Passo 4

Como dim U=2, basta escolher duas funções independentes de S, por exemplo p1 e p2. Assim
U=lang<= p1,p2rang<= =lalpha,(2x+2)+beta,(-x^2+x+3)mid alpha,betainRr
Em outras palavras,
U=lAx^2+Bx+Cin P2(R)mid B=2A+Cr,
pois da combinação acima obtém-se B=C+2A.

Resposta

U=lang<= p1,p2rang<= =lalpha,(2x+2)+beta,(-x^2+x+3)mid alpha,betainRr

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