Dadas matrizes quadradas de mesma ordem A, B, C tais que A B=B A=0, A C=A e C A=C mostre que
(A-B)^2=A^2+B^2

Passo 1

O enunciado dá três matrizes quadradas A,B,C de mesma ordem com
AB = BA = 0, AC = A, CA = C
e pede para mostrar que
(A - B)^2 = A^2 + B^2
O que vamos usar é a expansão do quadrado de um binômio de matrizes e a propriedade distributiva da multiplicação matricial. Note que as condições envolvendo C não entram na prova desta identidade.

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado do binômio (A - B):
(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = A,A ;-; A,B ;-; B,A ;+; B,B = A^2 - AB - BA + B^2
Como o enunciado garante AB = BA = 0, substituímos:
A^2 - AB - BA + B^2 = A^2 - 0 - 0 + B^2 = A^2 + B^2

Resposta

(A - B)^2 = A^2 + B^2

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