Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz B tal que B^2 = A , onde a matriz A é:
A = 3 & -2 -4 & 3
O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes, operações matriciais e raízes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz ao quadrado e como encontrar uma matriz que, quando multiplicada por ela mesma, resulte na matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que elevar uma matriz ao quadrado significa multiplicá-la por ela mesma. Ou seja, B^2 = B times B . Nosso objetivo é encontrar a matriz B que, ao ser multiplicada por si mesma, resulte na matriz A .
Vamos assumir que B tem a seguinte forma:
B = a & b c & d
Onde a , b , c e d são números que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular B^2 :
B^2 = B times B = a & b c & d times a & b c & d = a times a + b times c & a times b + b times d c times a + d times c & c times b + d times d
Simplificando:
B^2 = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2
Passo 4
Queremos que [B^2 = A), então igualamos as respectivas entradas das matrizes:
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (, , ).
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos tentar simplificar as equações.
Observando a segunda e a terceira equação:
Podemos fatorar [b) e :
Isso sugere que são proporcionais. Vamos dividir a segunda equação pela primeira:
Passo 6
Agora, sabemos que c = 2b . Vamos substituir isso nas outras equações.
Primeira equação:
a^2 + b times c = a^2 + b times 2b = a^2 + 2b^2 = 3
Quarta equação:
c b + d^2 = 2b times b + d^2 = 2b^2 + d^2 = 3
Agora, temos:
a^2 + 2b^2 = 3 a b + b d = -2 2b^2 + d^2 = 3
Passo 7
Vamos focar nas equações a^2 + 2b^2 = 3 e 2b^2 + d^2 = 3 . Se subtrairmos a segunda da primeira: