Se
A=[rr 3 & -2 -4 & 3 ]
Encontre B de modo que B^2=A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz B tal que B^2 = A , onde a matriz A é:
A = 3 & -2 -4 & 3
O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes, operações matriciais e raízes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz ao quadrado e como encontrar uma matriz que, quando multiplicada por ela mesma, resulte na matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que elevar uma matriz ao quadrado significa multiplicá-la por ela mesma. Ou seja, B^2 = B times B . Nosso objetivo é encontrar a matriz B que, ao ser multiplicada por si mesma, resulte na matriz A .
Vamos assumir que B tem a seguinte forma:
B = a & b c & d
Onde a , b , c e d são números que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular B^2 :
B^2 = B times B = a & b c & d times a & b c & d = a times a + b times c & a times b + b times d c times a + d times c & c times b + d times d
Simplificando:
B^2 = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2

Passo 4

Queremos que [B^2 = A), então igualamos as respectivas entradas das matrizes:
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (, , ).

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos tentar simplificar as equações.
Observando a segunda e a terceira equação:
Podemos fatorar [b) e :
Isso sugere que são proporcionais. Vamos dividir a segunda equação pela primeira:

Passo 6

Agora, sabemos que c = 2b . Vamos substituir isso nas outras equações.
Primeira equação:
a^2 + b times c = a^2 + b times 2b = a^2 + 2b^2 = 3
Quarta equação:
c b + d^2 = 2b times b + d^2 = 2b^2 + d^2 = 3
Agora, temos:
a^2 + 2b^2 = 3 a b + b d = -2 2b^2 + d^2 = 3

Passo 7

Vamos focar nas equações a^2 + 2b^2 = 3 e 2b^2 + d^2 = 3 . Se subtrairmos a segunda da primeira:
a^2 + 2b^2 - (2b^2 + d^2) = 3 - 3 Rightarrow a^2 - d^2 = 0 Rightarrow a^2 = d^2
Isso significa que a = d ou a = -d .

Passo 8

Vamos considerar o caso :
Substituindo na segunda equação :
Agora, substituindo na primeira equação :
Multiplicando por para eliminar o denominador:
Isso é uma equação quadrática em termos de . Vamos resolver:
Então, ou :
  1. Se :
  • Se :
 Então, \(d = 1\) e \(c = 2b = -2\).
  • Se :
 Então, \(d = -1\) e \(c = 2b = 2\).
  1. Se :
  • Se :
 Então, \(d = \sqrt{2}\) e \(c = 2b = -\sqrt{2}\).
  • Se :
 Então, \(d = -\sqrt{2}\) e \(c = 2b = \sqrt{2}\).

Resposta

Encontramos quatro possíveis matrizes B que satisfazem B^2 = A :
B = 1 & -1 -2 & 1
B = -1 & 1 2 & -1
B = raiz2 & -raiz22 -raiz2 & raiz2
B = -raiz2 & raiz22 raiz2 & -raiz2
Essas são as matrizes B que, quando elevadas ao quadrado, resultam na matriz A dada.

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