Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de M3 times 3 :
W=[ai j] ; ai j=aj i para todo 1 <= i, j <= 3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W=l[aij]in M3times3mid aij=aji para todo 1<= i,j<=3r
é um subespaço vetorial de M3times3. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que W não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que W não é vazio. A matriz nula
O = l[0r]3times3
satisfaz 0 = 0 para todo i,j, logo Oin W. Portanto Wneqemptyset.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam A=[aij] e B=[bij] em W. Então
A^T = A, B^T = B
Para A+B temos
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
ou seja, (A+B)ij=(A+B)ji. Logo A+Bin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja A=[aij]in W e lambdainR. Então
(lambda A)^T = lambda,A^T = lambda A,
o que significa (lambda A)ij=(lambda A)ji. Logo lambda Ain W.

Resposta

Sim, W é um subespaço vetorial de M3times3.

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