a) Escalone e discuta o sistema A cdot X=B em função dos parâmetros a e b, sendo X a matriz das incógnitas.
b) Considere a=-2 e b=2 e resolva o sistema A x=B, usando a regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado trata da resolução do sistema linear
onde
O conteúdo necessário é escalonamento (eliminação de Gauss) para discutir existência e unicidade em função de e, no caso particular , aplicação da regra de Cramer para obter a solução.
Substituindo em 1ª e 2ª obtemos o sistema em (y,z):
-(a+1),y + (2-2a),z = b, (a+1),y + 4,z = b^2
Passo 3
O determinante do sistema em (y,z) é
De<a = -(a+1) & 2-2a a+1 & 4 =(6-2a)(a+1)
Se aneq3 e aneq-1 então De<aneq0 e há solução única:
z = b^2+b6-2a, y = b^2 - 4za+1, x = -,y - 2z
Passo 4
Casos singulares:
Se a=3 então 6-2a=0 e as duas equações em (y,z) reduzem a ;y+z = -b/4 e ;y+z = b^2/4.
Há compatibilidade só se -b/4 = b^2/4iff b(b+1)=0. bul<=t Se b=0 ou b=-1, infinitas soluções (um parâmetro livre). bul<=t Caso contrário, sem solução.
Se a=-1 então a+1=0 e as equações viram ;4z=b^2 e ;4z=b.
Compatibilidade só se b(b-1)=0. bul<=t Se b=0 ou b=1, infinitas soluções. bul<=t Caso contrário, sem solução.
Passo 5
Para a=-2, b=2 temos De<aneq0, solução única obtida por Cramer.
Matriz e determinante principal:
x = detxdet A = 410 = 25, y = detydet A = 0, z = detzdet A = 610 = 35
Resposta
(a) Se aneq3 e aneq-1, existe única solução dada acima.
Para a=3 ou a=-1 há infinitas soluções se b(b+1)=0 (no caso a=3) ou b(b-1)=0 (no caso a=-1); caso contrário, sem solução.
(b) Para a=-2, b=2,