Dadas as matrizes:
A=(rrr a & -1 & 2 -1 & a & 2 1 & 1 & 2 a ), X=(c x y z ) e B=(c b b^2 0 ), com a, b in R
a) Escalone e discuta o sistema A cdot X=B em função dos parâmetros a e b, sendo X a matriz das incógnitas.
b) Considere a=-2 e b=2 e resolva o sistema A x=B, usando a regra de Cramer.

Passo 1

O enunciado trata da resolução do sistema linear
onde
O conteúdo necessário é escalonamento (eliminação de Gauss) para discutir existência e unicidade em função de e, no caso particular , aplicação da regra de Cramer para obter a solução.

Passo 2

Escrevendo as três equações:
a,x - y + 2z = b, -,x + a,y + 2z = b^2, ;x + y + 2z = 0,
usamos a terceira para isolar x:
x = -,y - 2z
Substituindo em 1ª e 2ª obtemos o sistema em (y,z):
-(a+1),y + (2-2a),z = b, (a+1),y + 4,z = b^2

Passo 3

O determinante do sistema em (y,z) é
De<a = -(a+1) & 2-2a a+1 & 4 =(6-2a)(a+1)
Se aneq3 e aneq-1 então De<aneq0 e há solução única:
z = b^2+b6-2a, y = b^2 - 4za+1, x = -,y - 2z

Passo 4

Casos singulares:
  • Se a=3 então 6-2a=0 e as duas equações em (y,z) reduzem a
    ;y+z = -b/4 e ;y+z = b^2/4.
    Há compatibilidade só se -b/4 = b^2/4iff b(b+1)=0.
    bul<=t Se b=0 ou b=-1, infinitas soluções (um parâmetro livre).
    bul<=t Caso contrário, sem solução.
  • Se a=-1 então a+1=0 e as equações viram
    ;4z=b^2 e ;4z=b.
    Compatibilidade só se b(b-1)=0.
    bul<=t Se b=0 ou b=1, infinitas soluções.
    bul<=t Caso contrário, sem solução.

Passo 5

Para a=-2, b=2 temos De<aneq0, solução única obtida por Cramer.
Matriz e determinante principal:
det A = -2 & -1 & 2 -1 & -2 & 2 1 & 1 & 2 =10
Determinantes para x,y,z:
detx = 2 & -1 & 2 4 & -2 & 2 0 & 1 & 2 =4, dety = -2 & 2 & 2 -1 & 4 & 2 1 & 0 & 2 =0, detz = -2 & -1 & 2 -1 & -2 & 4 1 & 1 & 0 =6
Logo, pela regra de Cramer,
x = detxdet A = 410 = 25, y = detydet A = 0, z = detzdet A = 610 = 35

Resposta

(a) Se aneq3 e aneq-1, existe única solução dada acima.
Para a=3 ou a=-1 há infinitas soluções se b(b+1)=0 (no caso a=3) ou b(b-1)=0 (no caso a=-1); caso contrário, sem solução.
(b) Para a=-2, b=2,
x=tfrac25, y=0, z=tfrac35

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