Dado o sistema linear:
B:c 3 x+5 y+12 z-w=0 x+y+4 z-w=0 2 y+2 z+w=0
(a) Obtenha o conjunto solução SB=(x, y, z, w) / x, y, ze w satisfazemo sistema B b) Acrescente a equação 2 x+2 z+k w=0 ao sistema B e diga para que valores de k o sistema é compativel determinado, compativel indeterminado ou incompativel (impossivel). (DICA: adicione a linha do item c na matriz já escalonada)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear B com três equações e quatro incógnitas x,y,z,w. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss: vamos escalonar a matriz aumentada de B, encontrar a solução geral e depois, no item (b), acrescentar uma nova equação e ver como ela impõe condições em função de k.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada de B:
[cccc|c 3 & 5 & 12 & -1 & 0 1 & 1 & 4 & -1 & 0 0 & 2 & 2 & 1 & 0 ]
Trocamos linha 1 com linha 2 para ter pivô 1 em (1,1), depois eliminamos abaixo e escalonamos:
&(i) troca L1rightarrow L2: [cccc|c 1 & 1 & 4 & -1 & 0 3 & 5 &12 & -1 & 0 0 & 2 & 2 & 1 & 0 ], &(ii) L2 L2 - 3 cdot L1, L3 permanece, obtendo [cccc|c 1 & 1 & 4 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 1 & 0 ], &(iii) L2 tfrac12 L2, L3 L3 - L2: [cccc|c 1 & 1 & 4 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & -1 & 0 ], &(iv) L3 tfrac12 L3, resu<ando na forma escalonada [cccc|c 1 & 1 & 4 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & 0 ]

Passo 3

Da forma escalonada, escolhemos w como parâmetro t.
Terceira linha: z - tfrac12w = 0 Rightarrow z=tfrac12t.
Segunda linha: y + w=0 Rightarrow y=-t.
Primeira linha: x + y +4z - w=0 Rightarrow x +(-t)+4(tfrac12t)-t=0 Rightarrow x=0.
Logo
SB=(x,y,z,w)=(0,-t,tfrac12t,t)mid tinR

Passo 4

Agora acrescentamos a equação
2x + 2z + k,w = 0,
que em forma de linha é [2 0 2 kmid0]. Usamos as três linhas já escalonadas para eliminar x e z desta linha:
(i) eliminar x com a linha 1: L 4\leftarrow L 4 - 2 cdot L 1 \Rightarrow [0,-2,-6;k+2\mid0].
(ii) eliminar y com a linha 2: L 4\leftarrow L 4 + 2 cdot L 2 \Rightarrow [0;0,-6;k+4\mid0].
(iii) eliminar z com a linha 3: L 4\leftarrow L 4 + 6 cdot L 3 \Rightarrow [0;0;0;k+1\mid0].
Daí surge a última equação (k+1),w=0.

Passo 5

Dessa equação adicional:
  • Se kneq -1, então w=0. Logo z=0, y=0, x=0: solução única (compatível determinado).
  • Se k=-1, a equação vira 0=0 e não impõe restrição a w, mantendo-o livre Rightarrow infinitas soluções (compatível indeterminado).
  • Não há caso impossível, pois nunca aparece uma contradição do tipo 0= cneq0.

Resposta

(a) SB=(0,-t,tfrac12t,t)mid tin R
(b) Para kneq -1 o sistema é compatível determinado; para k=-1 é compatível indeterminado; nunca é incompatível.

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